求逆元的四种算法
拓展欧几里得算法求逆元
上一篇博客中已经讲过拓展欧几里得算法，并且讲解了求逆元的原理。这里只列出代码
在要求逆元的数与p互质时使用
代码
//扩展欧几里得定理
int ex_gcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);
int tmp = x;
x = y;
y = tmp-a/b*y;
return ans;
}
int cal(int a,int m)
{
int x,y;
int gcd = ex_gcd(a,m,x,y);
//cout << "a " << a << " m " << m << " x " << x << " y " << y << endl;
if(1%gcd!=0) return -1;
x*=1/gcd;
m = abs(m);
int ans = x%m;
if(ans<=0) ans += m;
return ans;
}费马小定理求逆元
在p是素数的情况下，有\(a^{p-1}\equiv1(\mod p)\)，即\(a^{p-2}a\equiv1(\mod p)\)。所以a模p的逆元是\(a^{p-2}\)，可用快速幂求解。
代码
//费马小定理
long long q_pow(long long a,long long b,long long p)
{
long long res = 1;
while(b)
{
if(b&1)
{
res = (res*a)%p;
}
a = (a*a)%p;
b>>=1;
}
return res;
}
long long inverse(long long a,long long p)
{
return q_pow(a,p-2,p);
}线性递推求逆元
在p为质数且需要一次性打出[1,p-1]的所有逆元时可以使用
公式推导：现在求k的逆元
令\(ak+b=p\)，
\(b*inv[b]\equiv1\mod p\)
\((p-ak)*inv[b]\equiv1\mod p\)
\((p*inv[b]-ak*inv[b])\equiv1\mod p\)
因为\(p*inv[b]\equiv0\mod p\)
有\(-ak*inv[b]\equiv1\mod p\)
又\(b=p\%k\)
有\(-ak*inv[p\%k]\equiv1 mod p\)
又\(ak+b=p,所以a=p/k(整除)\)
即\(-(p/k)*inv[p\%k]*k\equiv1\mod p\)
所以有\(inv[k]=-(p/k)*inv[p\%k]\)
使用的时候加上p去掉负号
代码
//线性递推
int inv[max_n];
void ksm(int p)
{
inv[1] = 1;
for(int i = 2;i<=p-1;i++)
{
inv[i] = (p-p/i)*inv[p%i]%p;
}
}欧拉定理求逆元
在p为非质数时使用
欧拉定理表明，a,p互质时，有\(a^{\phi(p)}\equiv1(\mod p)\)，则a模p的逆元为\(a^{\phi(p)-1}\)。求出欧拉函数后可用快速幂求得逆元。
代码
原理是\(\phi(n)=n*\prod_{i=1}^k(1-\frac{1}{factor[i]})\)。factor[i]表示n的因子
//欧拉函数
int phi(int x)
{
int ans = x;
for(int i = 2;i*i<=x;i++)
{
if(x%i==0)
{
ans = ans/i*(i-1);
while(x%i==0) x/=i;
}
}
if(x>1)
ans=ans/x*(x-1);
return ans;
}还有一种欧拉筛法，批量求欧拉函数，类似于埃氏筛
代码
//欧拉筛法
int Phi[max_n];
void euler(int N)
{
Phi[1] = 1;
for(int i = 2;i<N;i++)
{
if(!Phi[i])
{
for(int j = i;j<N;j+=i)
{
if(!Phi[j])
{
Phi[j] = j;
}
Phi[j] = Phi[j]/i*(i-1);
}
}
}
}另一种更高效的筛法
原理：
p为质数，\(\phi(p)=p-1\)，
if\(i\%p==0\),then \(\phi(i*p)=\phi(i)*p\)
if \(i\%p!=0\),then \(\phi(i*p)=\phi(i)*(p-1)\).
代码
//更快的欧拉筛
int tot = 0;//质数个数
int prime[max_n];//质数
void Euler(int N)
{
Phi[1] = 1;
for(int i = 2;i<N;i++)
{
if(!Phi[i])
{
Phi[i] = i-1;
prime[tot++] = i;
}
for(int j = 0;j<tot&&(long long)i*prime[j]<N;j++)
{
if(i%prime[j])
{
Phi[i*prime[j]] = Phi[i]*(prime[j]-1);
}
else
{
Phi[i*prime[j]] = Phi[i]*prime[j];
break;
}
}
}
}还有一种似乎表面上原理不同，但实现与上面相似的欧拉筛,这次是直接求出[1,p-1]逆元的那种。
逆元有个性质：
\(inv[a]*inv[b]=inv[a*b]\)
因为\(a*inv[a]\equiv b*inv[b]\equiv1(\mod p)\).
则\(ab*inv[a]*inv[b]\equiv1(\mod p)\),
即\(inv[a*b]=inv[a]*inv[b]\).
所以对于每个合数 ，我们把所有它的因子的逆元筛出来再相乘即可。
所以我们可以直接把所有素数筛出来，对它们求逆元（拓欧或费马小定理），再把它的逆元乘给它的倍数就可以了。
//另一种欧拉筛
int vis[max_n];
int inv[max_n];
int prime[max_n];//prime[0]记录质数个数
void EUler(int p)
{
vis[1] = 1;
inv[1] = 1;
for(int i = 2;i<=p-1;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++prime[0]] = i;
inv[i] = q_pow(i,p-2,p);
}
for(int j=0;j<prime[0];j++)
{
if(i*prime[j]>p) break;
inv[i*prime[j]]=inv[i]*inv[prime[j]];
if(i%prime[j]) break;
}
}
}写着写着老是有一种“回字的四种写法”的感觉ε=(′ο｀*)))
参考文章
x义x的博客，【x义x讲坛】浅谈模质数意义下的乘法逆元，https://www.luogu.org/blog/zyxxs/post-xiao-yi-jiang-tan-qian-tan-sheng-fa-ni-yuan#
镜外，ACM数论之旅7---欧拉函数的证明及代码实现（我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭），https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194170.html
Rain722，乘法逆元的几种计算方法，https://blog.csdn.net/Rain722/article/details/53170288
hehe_54321，乘法逆元（欧拉函数,欧拉定理,质数筛法），https://www.cnblogs.com/hehe54321/p/7778955.html
原文地址：https://www.cnblogs.com/zhanhonhao/p/11330792.html