莫比乌斯反演入门

Preface

莫比乌斯反演，数论中最令人头疼的一部分。可以把一些十分困难的问题变得依然很困难简单。

很早之前就想好好学一下反演，但苦于连\(\mu\)的意义都搞不懂。直到有一天我偶然看到了一句话：

那些各种各样的性质与定理，大多是前人几年甚至几十年才得出来的，哪里是你几天就能理解并证明的。

（PS：每当你阅读本文并感到无法理解时，请再次阅读一遍上面的话。）

因此我就开始一脸懵逼地强行学习起反演了，一段时间之后发现也没有那么难理解。

学习的过程大多参照peng-ym‘s blog

关于莫比乌斯函数

莫比乌斯函数的定义

我们先考虑一个简单的东西，容斥公式（这个相信大家自己YY一下就知道了）

所以从现在开始我们把\(\mu\)当做一个类似于容斥系数一样的东西，我们先给出\(\mu\)的定义：

• 当\(d=1\)时，\(\mu(d)=1\)
• 当\(d=\prod_{i=1}^t p_i\)(即\(d\)的唯一分解式)且\(p_i\)为互异素数时，\(\mu(d)=(-1)^k\)，即此时\(d\)没有平方质因子
• 其它时候\(\mu(d)=0\)

PS：尽管你不知道它问什么要这么定义也没关系，当你明白狄利克雷卷积以及相关更高级的数论姿势后就会慢慢明白\(\mu\)为什么要这么定义了。

莫比乌斯函数的性质

1. \(\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1](n\in N^+)\)。（用\(\mu\)是容斥系数的性质即可证明，反正我不会）
2. \(\sum_{d|n} \frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\)（把莫比乌斯函数和欧拉函数很好的联系在一起，我会在杜教筛及其前置技能狄利克雷卷积中给出证明）

莫比乌斯函数的求法

因为莫比乌斯函数是典型的积性函数，因此和欧拉函数一样都可以用欧拉筛筛出来。

主要是利用它的第二条定义来取反符号。这里给出一段代码：

#define Pi prime[j]
inline void Euler(void)
{
    vis[1]=miu[1]=1; for (RI i=2;i<=P;++i)
    {
        if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,miu[i]=-1;
        for (RI j=1;j<=cnt&&i*Pi<=P;++j)
        {
            vis[i*Pi]=1; if (i%Pi) miu[i*Pi]=-miu[i]; else break;
        }
    }
}
#undef Pi

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演定理

不多BB，我们来看一下这个NB的定理：

令\(F(n)\)和\(f(n)\)都是定义在非负整数域上的两个函数，并且它们之间满足：

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]

那么我们有一个结论：

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)\]

这个就是传说中的莫比乌斯反演定理，它还有另外一种形式（更加常用）：

\[F(n)=\sum_{n|d}f(d)\]

可以推出：

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)\]

和上面的那个道理类似吧

简单证明莫比乌斯反演定理

个人感觉这种方式不是很直观啊，更好的方法还是在杜教筛及其前置技能狄利克雷卷积中给出的那一种证明

\[\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\lfloor \frac{n}{d}\rfloor} f(i)\]

\[=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n)\]

因为\(\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1](n\in N^+)\)，因此当且仅当\(i=n\)时\(\sum_{d|\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=1\)

莫比乌斯反演的意义（作用）

讲了这么多，那么反演的意义何在？

其实从上面的定理就可以看出，它是两个函数互相转换时的一大利器。

所以在某些情况下当\(f(d)\)不好处理而\(F(n)\)比较好求时可以考虑求出\(F(n)\)的值再反演给\(f(d)\)

不过具体的情况还是要视题目而定了说白了就是还是要多做题

一些简单的反演题

• Luogu P2257 YY的GCD Sol
• Luogu P3455 [POI2007]ZAP-Queries Sol
• Luogu P3327 [SDOI2015]约数个数和 Sol
• Luogu P1447 [NOI2010]能量采集 Sol
• Luogu P2522 [HAOI2011]Problem b Sol

Postscript

反演很难这是肯定的。但是通过上面的几道题目我们发现多以套路为主。

所以根据个人经验来说多刷题才是掌握反演的必要过程。

原文地址：https://www.cnblogs.com/cjjsb/p/9876840.html