1、前言
又开始一年一度的组合数学课了。去年这个时候我可以说是一句话都没听懂,如今一年过去了,虽然高一已经过去了,然并卵啊!三个小时,学完了排列组合,函数极限,导数,微分,定积分与不定积分,我要去问问数学组的学了多久。。。所以只能课后再来吃点补品了。
2、函数变化率
任何函数,均存在自己的变化率。变化率并不是变化,所以不带单位。如图所示,观察其中的△y。
当x=0->1,函数y值增加了△y=f[1]-f[0]=4,则此时的变化率为:△y/△x=4/1=4;
当x=1->2,函数y值增加了△y=f[2]-f[1]=1,则此时的变化率为:△y/△x=1/1=1。
可以看出,随着x值的增大,函数的变化率减小。
3、函数极限
联系物理高一必修一知识,不禁会思考:我们在计算一个运动物体的速度的时候,显然只能求出某一时间段的平均速度,书上所写的概念是,当△t足够小时就是瞬时速度。足够小是多小?现在我们来做一个实验。存在一个物体,它的位移公式为:h[i]=-4.9t^2-13.1t。假设需要求出t=2时的瞬时速度。我们先考虑t=2附近的情况,任意取一个时刻2+△t,△t是时间变化量,现在分为△t<0和△t>0两种情况讨论:
当△t<0时,v=(h[2]-h[2+△t])/(2-(2+△t))=(4.9△t^2+13.1△t)/-△t=-4.9△t-13.1;
当△t=-0.01时,v=-13.051;当△t=-0.001时,v=-13.0951;
当△t=-0.0001时,v=-13.09951;当△t=-0.00001时,v=-13.099951;
当△t=-0.000001时,v=-13.0999951;当△t=-0.0000001时,v=-13.09999951;
当△t<0时,v=(h[2+△t]-h[2])/((2+△t)-2)=(-4.9△t^2-13.1△t)/△t=-4.9△t-13.1;
当△t=0.01时,v=-13.149;当△t=0.001时,v=-13.1049;
当△t=0.0001时,v=-13.10049;当△t=0.00001时,v=-13.100049;
当△t=0.000001时,v=-13.1000049;当△t=0.0000001时,v=-13.10000049。
我们发现,当△t趋近于0时,v都趋近于一个确定的值-13.1。因此,我们可以确定,当t=2时,物体的瞬时速度为-13.1m/s。
而通常,标准的写法为:
表示,“当t=2,△t趋近于0时,平均速度v趋近于确定值-13.1”。
4、导数的概念
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为:
我们称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f‘(x0)或y‘|x=x0,即:
5、导数的几何意义
首先确定一条过原点的二次函数线y=f(x),取线上任意一定点为P,作其切线,另取线上任意一点为Pn,连接PPn。移动Pn,如图所示:
我们发现,当点Pn趋近于P时,割线PPn趋近于切线PT。首先容易知道,割线PPn的斜率为:
由于PPn无线趋近于PT,同样地,kn也将趋近于PT的k值。设△x=x(Pn)-x(P),函数f(x)在点P处的导数就是切线PT的斜率k,即:
6、导数的计算
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