【暑假】[实用数据结构]动态范围查询问题

动态范围查询问题：

一、线段树+点修改

  支持操作：

  1. Update(x,v): 将Ax修改为v
  2. Query(L,R) : 计算[L,R]内的最小值
 1 int minv[maxn];
 2 int ql,qr;
 3 int Query(int u,int L,int R){
 4     int M=L + (R-L)/2 , ans=INF;
 5     if(ql<=L && R<=qr) return minv[u];
 6     if(ql <= M) ans=min(ans,Query(2*u,L,M));
 7     if(M < qr) ans=min(ans,Query(2*u+1,M+1,R));
 8     return ans;
 9 }
10
11 int p,v; //A[p]=v
12 void Update(int u,int L,int R){
13     if(L==R) {minv[u]=v; return; } //叶节点则修改
14     int M=L+(R-L)+1;
15     if(p<=M) Update(2*u,L,M); else Update(2*u+1,M+1,R); //递归p所在子树
16     minv[u]=min(minv[2*u],minv[2*u+1]); //更新当前minv
17 }

联系题目：LA3938

链接：

 二、线段树+区间修改

快速序列操作1：

支持操作：

  1. Add(L,R,v):
  2. Query(L,R):计算[L,R]内的最小值、最大值、区间和。

关于算法：在 一 的基础上增加了addv，这种为了避免复杂操作而打标记的方法与链表题UVa12657相通，新增maintain维护结点信息。需要注意的是Query的新参数add是记录根到“叶子”路径上祖先的add之和。

 1 int minv[maxn],addv[maxn],sumv[maxn],maxv[maxn];
 2 //maintain维护u的结点信息
 3 void maintain(int u,int L,int R){
 4     int lc=2*u,rc=2*u+1;
 5     minv[u]=maxv[u]=sumv[u]=0;  //叶子结点的设置
 6     if(L<R){ //有子树
 7         minv[u]=min(minv[lc],minv[rc]);
 8         maxv[u]=max(maxv[lc],maxv[rc]);
 9         sumv[u]=sumv[lc]+sumv[rc];
10     }
11     minv[u] += addv[u]; maxv[u] += addv[u]; sumv[u] += addv[u]*(R-L+1);
12     //亦 叶子结点
13     //考虑到add
14 }
15
16
17 int y1,y2,v; //A[y1~y2] += v
18 void Add(int u,int L,int R){
19     if(y1<=L && R<=y2)  addv[u] +=v;
20     else{
21       int lc=2*u,rc=2*u+1;
22       int M=L+(R-L)+1;
23       if(y1 <= M) Add(lc,L,M);
24       if(M < y2) Add(rc,M+1,R);
25     }
26     maintain(u,L,R); //递归结束后维护u结点信息
27 }
28
29 int ql,qr;
30 int _min=INF,_max=-INF,_sum=0;
31 int Query(int u,int L,int R,int add){ //要考虑到祖先的add
32    if(ql<=L && R<=qr) {
33        _min=min(_min,minv[u]+add);
34        _max=max(_max,maxv[u]+add);
35        _sum += sumv[u]+ add*(R-L+1);
36    }
37   else{
38       int M=L+(R-L)/2;
39       if(ql <= M) Query(u*2,L,M,add+addv[u]); //add+addv[u]保证是根->叶该路径上的祖先add之和
40       if(M < qr) Query(u*2+1,M+1,R,add+addv[u]);
41   }
42 }

快速序列操作2：

支持操作：

  1. Set(L,R,v) : A[L~R]=v
  2. Query(L,R): 计算[L,R]内的最小值、最大值、区间和。

关于算法：注意到 1 类题目的Add操作对于顺序是没有要求的，而 2 类题目中的Set则是有顺序要求，如果顺序改变结果亦会改变。所以泛泛地说：任意两个Set操作不能出现祖先后代的关系。所以必要时需要把Set下传给子结点。 但也可以找到set是祖先后辈关系的反例，这种情况是两操作并未“相遇”的结果，因为只有“相遇”才会pushdown。要知道处于上方的操作是下方操作之后标记的，于是加入递归边界1：有无set标记的判断。

int minv[maxn],setv[maxn],sumv[maxn],maxv[maxn];
//maintain维护u的结点信息
void maintain(int u,int L,int R){
    int lc=2*u,rc=2*u+1;
    minv[u]=maxv[u]=sumv[u]=0;  //叶子结点的设置
    if(L<R){ //有子树
        minv[u]=min(minv[lc],minv[rc]);
        maxv[u]=max(maxv[lc],maxv[rc]);
        sumv[u]=sumv[lc]+sumv[rc];
    }
    if(setv[u] >= 0) { minv[u]=maxv[u]=setv[u];sumv[u]=setv[u]*(R-L+1);}
}

void pushdown(int u){
    int lc=u*2,rc=u*2+1;
    if(setv[u]>=0){
        setv[lc]=setv[rc]=setv[u]; //下传 -1表示无set
        setv[u]=-1;
    }
}
int y1,y2,v; //A[y1~y2] += v
void Set(int u,int L,int R){
    if(y1<=L && R<=y2)  setv[u]=v;
    else{
      pushdown(u);  //下传set
      int lc=2*u,rc=2*u+1;
      int M=L+(R-L)+1;
      if(y1 <= M) Set(lc,L,M); else maintain(lc,L,M);
      if(M < y2) Set(rc,M+1,R); else maintain(rc,M+1,R);
      //针对不能递归的子树的两次maintain 维护信息
    }
    maintain(u,L,R); //递归结束后维护u结点信息
}

int ql,qr;
int _min=INF,_max=-INF,_sum=0;
int Query(int u,int L,int R){
    if(setv[u]>=0){            //递归边界1 有set标记  //注意sum范围
        _sum += setv[u] * (min(R,qr)-max(L,ql)+1);
        _min=min(_min,minv[u]);
        _max=max(_max,maxv[u]);
    }
    else if(ql<=L && R<=qr){ //递归边界2 边界区间 且 此区间没有受到set的影响
        _sum +=  sumv[u];
        _min=min(_min,minv[u]);
        _max=max(_max,maxv[u]);
    } else{
        int M=L+(R-L)/2;
        if(ql<=M) Query(u*2,L,M);
        if(M < qr) Query(u*2+1,M+1,R);
    }
}

作者所给同时支持Add与Set操作的模板：

struct IntervalTree {
  int sumv[maxnode], minv[maxnode], maxv[maxnode], setv[maxnode], addv[maxnode];

  // 维护信息
  void maintain(int o, int L, int R) {
    int lc = o*2, rc = o*2+1;
    if(R > L) {
      sumv[o] = sumv[lc] + sumv[rc];
      minv[o] = min(minv[lc], minv[rc]);
      maxv[o] = max(maxv[lc], maxv[rc]);
    }
    if(setv[o] >= 0) { minv[o] = maxv[o] = setv[o]; sumv[o] = setv[o] * (R-L+1); }
    if(addv[o]) { minv[o] += addv[o]; maxv[o] += addv[o]; sumv[o] += addv[o] * (R-L+1); }
  }

  // 标记传递
  void pushdown(int o) {
    int lc = o*2, rc = o*2+1;
    if(setv[o] >= 0) {
      setv[lc] = setv[rc] = setv[o];
      addv[lc] = addv[rc] = 0;
      setv[o] = -1; // 清除本结点标记
    }
    if(addv[o]) {
      addv[lc] += addv[o];
      addv[rc] += addv[o];
      addv[o] = 0; // 清除本结点标记
    }
  }

  void update(int o, int L, int R) {
    int lc = o*2, rc = o*2+1;
    if(y1 <= L && y2 >= R) { // 标记修改
      if(op == 1) addv[o] += v;
      else { setv[o] = v; addv[o] = 0; }
    } else {
      pushdown(o);
      int M = L + (R-L)/2;
      if(y1 <= M) update(lc, L, M); else maintain(lc, L, M);
      if(y2 > M) update(rc, M+1, R); else maintain(rc, M+1, R);
    }
    maintain(o, L, R);
  }

  void query(int o, int L, int R, int add) {
    if(setv[o] >= 0) {
      int v = setv[o] + add + addv[o];
      _sum += v * (min(R,y2)-max(L,y1)+1);
      _min = min(_min, v);
      _max = max(_max, v);
    } else if(y1 <= L && y2 >= R) {
      _sum += sumv[o] + add * (R-L+1);
      _min = min(_min, minv[o] + add);
      _max = max(_max, maxv[o] + add);
    } else {
      int M = L + (R-L)/2;
      if(y1 <= M) query(o*2, L, M, add + addv[o]);
      if(y2 > M) query(o*2+1, M+1, R, add + addv[o]);
    }
  }
};

联系题目：UVa11992

链接：

注：如果代码中包含中文字符会乱码 ┑(￣Д ￣)┍

时间： 2024-08-03 07:30:50

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