同余方程，不定方程总结

听说这是数论中比较重要的部分了，一点点的总结吧。。

一.线性同余方程与不定方程：

单个一元线性方程

求解方法：扩展欧几里得 exgcd

模板：

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    __int64 tt=exgcd(b,a%b,x,y);
    __int64 t;
    t=x;
    x=y;
    y=(t-a/b*y);
    return tt;
}

原理：对于整数 a，b。存在 x，y使 x*a+y*b=gcd(a,b)；

当b=0时，有gcd(a,b)=a，显然此时 x=1，y=0.

exgcd算法可以在朴素 gcd 中的一步一步的递归中迭代更新 x，y的值，最终求出 x*a+y*b=gcd(a,b)的一组解。

利用exgcd求不定方程 x*a+y*b=c 解的步骤：

（1）.用 exgcd求出 d=gcd(a,b) 和 x*a+y*b=gcd(a,b) 一组解 x0，y0 ;

（2）.判断  c%d==0，则有解，否则无解

（3）.令 x=x0*c/d，y=y0*c/d；则得到此方程的一组解 x，y

（4）.若需要求最大最小解，再线性变换 x，y查找。

例：  x*a+y*b=c  ，y每增加1，x减小b/a，化为互质整数：y增加a/d，x减小b/d，可见x的周期是b/d

所以要找最小的x 只需要 x=(x%(b/d)+b/d)%(b/d)即可。

求解同余方程 a*x==b mod m，可转化为求 x*a+y*m=b，套用上面的步骤求解即可

例题 poj1061  poj2115

一元一次同余方程组 （x=b[i](mod a[i]) ）：

朴素解法:

思想：方程的合并，转化为单个同余方程

参考资料 http://www.cnblogs.com/heweiyou1993/p/3301894.html

模板：

例题：

中国剩余定理：

多元线性同余方程组：

二.高次同余方程组

a^x ==b (mod c)型

三.特殊的不定方程

费马大定理

毕达哥拉斯三元组

佩尔方程