机器学习(2)之线性回归

机器学习(2)之线性回归

上一章介绍了梯度下降算法的线性回归，本章将介绍另外一种线性回归，它是利用矩阵求导的方式来实现梯度下降算法一样的效果。

1. 矩阵的求导

首先定义表示m×n的矩阵，那么对该矩阵进行求导可以用下式表示，可以看出求导后的矩阵仍然为m×n

这里要用到矩阵迹的特性，trace. 对于一个n阶的方阵（n×n）,它的迹(tr)为对角线元素之和：

1. 对于一个实数，它的迹即为它本身

tr a = a

2. 如果AB是一个方阵，那么

tr AB = tr BA

3. 由此可推导出

trABC = trCAB = trBCA

trABCD = trDABC = trCDAB = trBCDA

4. 假设A 和 B为方阵，a为实数，那么又可以推导出以下的特性：

trA = trA^T

tr(A + B) = trA + trB

tr aA = atrA

5.对迹进行求导，具有以下特性：

2. Least squares revisited

现在就可以利用1中矩阵求导的相关知识来重新求解线性回归问题。

假设训练样本：

定义目标集合：

因为，所以

又因为，根据最小二乘规则，代价函数可以写成：

对J(θ)进行求导：

上述推导使用了第1部分的特性。

miniminzes J(θ) 即