记录一下day6发生的事情吧。
7:30
到达附中求索杯，被人膜，掉RP。
7:50
进考场，6楼的最后一排的最左边的位置，世界上最角落的地方，没有任何想法。
发现电脑时间和别人不一样，赶快调了一下。
8:00
等待发题。
8:03
题发了，为什么要迟发呢。=)
8:05-9:30
冥思苦想T1什么鬼东西。中间看了看T2T3是啥。
9:30-10:30
对T3的水震惊之余，把T3切掉了，顺便在准考证背面写了题解，准备给同学看看，以便带出去交流。
10:50-12:00
思考T2骗分，T2又是DNA序列，思考为什么FJ不建一个全国基因研究库，就开在FCS里面，专门研究不相交DNA序列反转和两个DNA的最近公共祖先的长度呢？
最终还是输出了-1。233333
12:00-13:00
和@qrc交流T3，和其他人讲T3怎么做，期盼自己能ACT3。
13:00-18:30
机房划水，TR灾厄坑有了很大的进展，见识了克苏鲁之眼的狂暴形态。（？？？）
看了成绩，稳稳110，和nealchen并列FJ No.12，非常的舒服。
说说题解吧，也只会T3了
【T3】
题意：有n个城市，每个城市都有p个出入口，第\(i\)个城市的第\(j\)个出口有\(U_{i,j}\)条路径，入口有\(V_{i,j}\)条路径，从一个城市的第\(j\)出口出去，也要在另一个城市的第\(j\)入口进入才行。
那么，请你求出经过不超过k条路径的，从S旅行到T的方案数吧，虽然城市的图是一样的，但是有多组询问哦。
数据范围：\(1\leq n\leq 1000,1\leq p\leq 20,0\leq k\leq 10^{18}\)。
题解：观察到图的邻接矩阵是乘积的形式：\(A_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}U_{i,p}\cdot V_{j,p}=\sum_{k=1}^{p}U_{i,p}\cdot V^{T}_{p,j}=U\cdot V^T\)，准确的说，是矩阵乘积的形式！
这给接下来的解题提供了提示。
那么我们要求出\(Sum=A^0+A^1+\cdots+A^k\)，准确的说，要求出\(Sum_{S,T}\)，这里的\(Sum\)是一个矩阵哦。
如果直接计算，矩阵乘法都会TLE。
那么我们化简：
\(Sum=I+U\cdot V^T+U\cdot V^T\cdot U\cdot V^T+\cdots+(U\times V^T)^k\)
\(Sum=I+U\cdot(I+V^T\cdot U+(V^T\cdot U)^2+\cdots+(V^T\cdot U)^{k-1})\cdot V^T\)
恐怖的式子，对吧。但是我们完成了很重要的一步，注意到了吗：\(V^T\cdot U\)是一个\(p\times p\)的矩阵，这说明了矩阵乘法变得更快了！
用以往的技巧，构造\(2p\times 2p\)的矩阵，可以记录前缀和。
把这个矩阵的1,2,4,8,16...次幂记录下来，就可以直接快速求得任意次幂了。注意加上稀疏矩阵优化。
最终，前乘\(U\)，后乘\(V^T\)，再加上单位矩阵，就得到答案。
最后的小优化：因为求得是\(Sum_{S,T}\)，只要一个元素，可以更快求出来，不用求出整个\(Sum\)。
那么这题就算做完了。
原文地址：https://www.cnblogs.com/PinkRabbit/p/8457039.html