给出两个整数a,b
扩展欧几里得可以求出gcd(a,b)，并且能顺带算出一组特解(x,y)，
使ax+by=gcd(a,b)。
其实扩展欧几里得算法就是收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
原理如下：
设a=r0，b=r1，
那么根据辗转相除法，
r0=q1*r1+r2 (即a=q1*b+r2)
r1=q2*r2+r3
r2=q3*r3+r4
.......
rk-4=qk-3*rk-3+rk-2
rk-3=qk-2*rk-2+rk-1
rk-2=qk-1*rk-1+rk
rk-1=qk*rk+0，最后一式
那么rk=gcd(a,b)，这就是辗转相除法，
把上面的k个式子移项，得
r2=r0 - q1*r1 (即r2=a-q1*b)
r3=r1 - q2*r2
r4=r4 - q3*r3
.......
rk-2=rk-4 - qk-3*rk-3
rk-1=rk-3 - qk-2*rk-2
rk=rk-2 - qk-1*rk-1
0=rk-1 - qk*rk
对于倒数第二个式子rk=rk-2-qk-1*rk-1，令xk-1=1，yk-1= -qk-1，
那么倒数第二式变为 rk=xk-1*rk-2 + yk-1*rk-1 ，
把倒数第三个式子rk-1=rk-3 - qk-2*rk-2代入上式消去rk-1，得
rk=yk-1*rk-3 + (xk-1 - yk-1*qk-2)*rk-2，与式rk=xk-2*rk-3 + yk-2*rk-2 对比系数可知，
xk-2=yk-1，
yk-2=xk-1 - yk-1 * qk-2，其中 qk-2 = rk-3 / rk-2
然后重复上面的过程，依次把倒数第四，五......k个式子代入倒数第二个式子，
便可以依次消去rk-1,rk-2,......r2，而剩下r0和r1，
即把rk表示成a和b的线性组合，rk=x1*a + y1*b，这样便求出了一组特解(x,y)。
可以概括为一句话：收集辗转相除法中产生的式子，从后往前逐一代，就可将
rk表示成a和b的线性组合。
下面是扩展gcd的程序
#include<cstdio>
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;//好像只要y是a的倍数都行
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-y*a/b;
printf("x=%d,y=%d\n",x,y);
return r;
}
int main()
{
int a,b,x,y;
scanf("%d%d",&a,&b);
/*exgcd(a,b)求出gcd(a,b),
并且求出一组特解(x,y)使ax+by=gcd(a,b) */
int r=exgcd(a,b,x,y);
printf("x=%d,y=%d,gcd(%d,%d)=%d\n",x,y,a,b,r);
return 0;
}
递归的终止条件为
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
为什么终止后x=1，y=0呢？(后来发现只要y是a的倍数好像都行,暂时没有证明)
其实就是这个程序运行到了下面最后一条式子：
r2=r0 - q1*r1 (即r2=a-q1*b)
r3=r1 - q2*r2
r4=r4 - q3*r3
.......
rk-2=rk-4 - qk-3*rk-3
rk-1=rk-3 - qk-2*rk-2
rk=rk-2 - qk-1*rk-1
0=rk-1 - qk*rk
r=rk - qk+1*0， 比上面人工算多出一条式子递归出口，这里r=gcd(a,b)
运行到这里程序中的b==0，然后赋值x=1，y=0，
赋值x=1，y=0的原因：
x=1，y=0实际上就是上面的xk+1=1，yk+1=0，
我们来推导一下，
根据推导的公式
xk-2=yk-1，
yk-2=xk-1 - yk-1 * qk-2，
可以得到xk=yk+1=0，yk=xk+1 - yk+1*qk=1 - 0*qk=1，
继续倒推xk-1=yk=1，yk-1 = xk - yk*qk-1 = 0 - 1*qk-1 = - qk-1 ，
这里跟上面的设定“令xk-1=1，yk-1= -qk-1”一致，
因此可以赋值x=1，y=0。
只要把上面的过程自己用笔推导一遍就可以理解扩展gcd了。
原文地址：https://www.cnblogs.com/ACRykl/p/8734562.html