bzoj 1367: [Baltic2004]sequence（中位数+可并堆）

1367: [Baltic2004]sequence

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Description

Input

Output

一个整数R

Sample Input

7

9

4

8

20

14

15

18

Sample Output

13

HINT

所求的Z序列为6,7,8,13,14,15,18.

R=13

Source

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题解：中位数+可并堆

分情况讨论一下：

一个区间[l, r]，递增的，则对于此区间最优解为z[i] = t[i]；

一个区间[l,r] ，递减的，则z[l] = z[l + 1] = ... = z[r] = 这段数的中位数，不妨叫做w。（中位数为第(r - l + 1) / 2大的数），为什么是中位数呢，因为区间是递减的，我们要把他变成不下降的，最小的改动情况就是把他改成一个每个数都相同的序列，那么这就转化成了中位数问题，因为所有点到中位数的距离是最小的。但是我们要求的是上升序列而不是不下降序列，所以需要将将v[i]处理成v[i]-i。

那么这样就可以做了，对于递增的区间，我们可以把区间中的每一个数看成一个单独的堆，那么这个堆维护的中位数就是他本身。如果要加入一个数，我们可以把这个点先看成一个单独的堆，如果v[root[now]]<v[root[now]]也就是当前这个点，比他的前一个区间的中位数要小，但是我们要求他递增，那么这个问题又转换成了“一个区间[l,r]
，递减的，则z[l] = z[l + 1] = ... = z[r] = 这段数的中位数”这个问题，我们可以用可并堆来将两个合并到一起。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 1000003
using namespace std;
int n,m;
int v[N],l[N],r[N],R[N],L[N],size[N],tot[N],root[N],d[N];
int merge(int x,int y)
{
	if (!x) return y;
	if (!y) return x;
	if (v[x]<v[y]) swap(x,y);
	R[x]=merge(R[x],y);
	size[x]=size[L[x]]+size[R[x]]+1;
	if (d[L[x]]<=d[R[x]])  swap(L[x],R[x]);
	d[x]=d[R[x]]+1;
	return x;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v[i]),v[i]=v[i]-i;
    int now=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
     {
     	now++;
     	root[now]=i;
        l[now]=r[now]=i; //所控制区间的左右端点
	    tot[now]=1;//当前堆维护的中位数控制的数的个数
        size[root[now]]=1;//堆中元素的个数
        while (now>1&&v[root[now-1]]>v[root[now]])
         {
         	now--;
         	r[now]=r[now+1]; tot[now]+=tot[now+1];
         	root[now]=merge(root[now],root[now+1]);
         	while (size[root[now]]*2>tot[now]+1)//保证堆顶元素是当前区间的中位数
         	 root[now]=merge(L[root[now]],R[root[now]]);
         }
     }
    long long ans=0;
    for (int i=1;i<=now;i++)
     for (int j=l[i];j<=r[i];j++)
      ans+=(long long)abs(v[j]-v[root[i]]);
    printf("%I64d\n",ans);
}