（一）dijkstra，邻接矩阵
所有边权均为正，不管有没有环，求单个源点出发，到所有节点的最短路。该方法同时适用于有向图和无向图。
#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
const int INF = 100000000;
int n, m;
int maze[MAXN][MAXN], vis[MAXN], d[MAXN], fa[MAXN]; //d[i]表示节点i到源点0的距离
stack<int> s;
void print_path1(int j) {
if(j == 0) return ;
s.push(j);
while(j) {
for(int i = 0; i < n; ++i) {
if(d[j] == d[i] + maze[i][j]) {
s.push(i);
j = i;
break;
}
}
}
cout << s.top();
s.pop();
while(!s.empty()) {
cout << "->" << s.top();
s.pop();
}
cout << endl;
}
void print_path2(int j) {
if(j == 0) return ;
while(j) {
s.push(j);
j = fa[j];
}
s.push(j);
cout << s.top();
s.pop();
while(!s.empty()) {
cout << "->" << s.top();
s.pop();
}
cout << endl;
}
int main() {
freopen("E://data.txt", "r", stdin);
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < n; ++i) {
for(int j = 0; j < n; ++j) {
maze[i][j] = INF;
}
}
for(int i = 0; i < m; ++i) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
maze[u][v] = maze[v][u] = w;
}
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(int i = 0; i < n; ++i) d[i] = (i == 0 ? 0 : INF); //初始化d数组
for(int i = 0; i < n; ++i) { //循环n次
int m = INF, x;
for(int y = 0; y < n; ++y) { //在所有未标号的节点中，选出d值最小的节点x
if(!vis[y] && d[y] <= m) m = d[x=y];
}
vis[x] = 1;
for(int y = 0; y < n; ++y) { //对于从x出发的所有边(x, y)，更新d[y] = min(d[y], d[x]+maze[x][y])
if(d[y] > d[x] + maze[x][y]) {
d[y] = d[x] + maze[x][y];
fa[y] = x; //维护父亲指针
}
}
}
for(int i = 0; i < n; ++i) {
cout << d[i] << endl;
print_path1(i); //打印路径方法1：从终点出发，不断顺着d[j] == d[i] + maze[i][j]的边(i, j)从节点j退回到节点i，直到回到起点。
print_path2(i); //打印路径方法2：空间换时间！在更新d数组的时候维护父亲指针！
}
return 0;
}
（二）邻接表的建立
邻接表既可以用于有向图也可以用于无向图，在这种表示方法中，每个节点i都有一个链表，里面保存着从i出发的所有边，对于无向图来说，每条边会在邻接表中出现两次。
我们这里用数组实现链表：首先给每条边编号，然后用first[u]保存节点u的第一条边的编号，next[e]表示编号为e的边的“下一条边”的编号。
下面的代码针对有向图，建立邻接表。
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
int first[MAXN], next[MAXN], u[MAXN], v[MAXN], w[MAXN];
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < n; ++i) first[i] = -1;
for(int e = 0; e < m; ++e) {
cin >> u[e] >> v[e] >> w[e];
next[e] = first[u[e]];
first[u[e]] = e;
}
for(int i = 0; i < n; ++i) cout << first[i] << endl;
for(int e = 0; e < m; ++e) cout << next[e] << endl;
return 0;
}
上述代码的巧妙之处是插入到链表的首部而非尾部，这样就避免了对链表的遍历。在这里，同一个起点的各条边在邻接表中的顺序和读入顺序正好相反。
（三）使用邻接表跟优先队列的dijkstra。
queue跟priority_queue的唯一区别是，在优先队列中，元素并不是按照进入队列的先后顺序排列，而是按照优先级的高低顺序排列。pop()删除的是优先级最高的元素，而不一定是最先进入队列的元素。所以，获取对首元素的方法不再是front()，而是top()。
struct cmp{
bool operator() (const int a, const int b) { //a的优先级比b小时返回true
return a % 10 > b % 10;
}
};
priority_queue<int, vector<int>, cmp> q; //“个位数大的优先级反而小”的整数优先队列
声明一个小整数先出队列的优先队列：
priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > q;
在dijkstra算法中，不仅需要找出最小的d[i]，要连同这个节点的编号一起从优先队列中弹出来，所以我们用pair
为了方便起见，我们用typedef pair<int, int> pii自定义一个pii类型，则priority_queue< pii, vector<pii>, greater<pii> > q 就定义了一个由二元组构成的优先队列！
pair定义了它自己的排序规则——先比较第一维，相等时才比较第二维，因此需要按（d[i], i）而不是(i, d[i]) 的方式组合！
利用邻接表+二叉堆来实现dijkstra算法的代码如下：
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
const int MAXM = 100000;
const int INF = 100000000;
int n, m;
int first[MAXN], d[MAXN], done[MAXN]; //在寻找距离源点最近的点x过程中，done[i]表示第i个节点已经被处理过
int u[MAXM], v[MAXM], w[MAXM], next[MAXM];
typedef pair<int, int> pii;
int main() {
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < n; i++) first[i] = -1; //初始化邻接表的表头
for(int e = 0; e < m; ++e) { //邻接表的建立
cin >> u[e] >> v[e] >> w[e];
next[e] = first[u[e]];
first[u[e]] = e;
}
priority_queue< pii, vector<pii>, greater<pii> > q; //用于在所有未处理过的节点中，选出d值最小的节点x
memset(done, 0, sizeof(done)); //一开始假设所有节点都没有被处理过
q.push(make_pair(d[0], 0)); //起点进入优先队列
for(int i = 0; i < n; ++i) d[i] = (i == 0 ? 0 : INF);
while(!q.empty()) {
pii u = q.top();
q.pop();
int x = u.second; //x表示当前d值最小的节点的节点号
if(done[x]) continue; //已经算过，忽略
done[x] = 1;
for(int e = first[x]; e != -1; e = next[e]) { //遍历从x出发的所有边（x,y）更新d[y]
if(d[v[e]] > d[x] + w[e]) {
d[v[e]] = d[x] + w[e]; //松弛成功，更新d[v[e]]
q.push(make_pair(d[v[e]], v[e]));
}
}
}
for(int i = 0; i < n; ++i) cout << d[i] << endl;
return 0;
}
（四）Bellman-Ford算法
当图中有负权的时候，最短路就不一定存在了，但是还是可以在最短路存在的情况下把它求出来。
如果最短路存在，则该最短路一定不含环！
原因：分为正环，零环，负环三种情况考虑！
如果是正环或零环，那最短路肯定不经过它！如果是负环，那肯定就不存在最短路了！
既然最短路不含环，那么该最短路就最多只经过n-1个节点（起点不算），所以可以通过n-1轮松弛操作得到！
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
const int INF = 100000000;
int n, m;
int d[MAXN], u[MAXN], v[MAXN], w[MAXN];
int main() {
cin >> n >> m;
for(int e = 0; e < m; ++e) {
cin >> u[e] >> v[e] >> w[e];
}
for(int i = 0; i < n; ++i) d[i] = INF;
d[0] = 0;
for(int k = 0; k < n-1; ++k) { //迭代n-1次
for(int e = 0; e < m; ++e) { //检查每条边
int x = u[e];
int y = v[e];
if(d[x] < INF) d[y] = min(d[y], d[x] + w[e]); //松弛操作
}
}
for(int i = 0; i < n; ++i) cout << d[i] << endl;
return 0;
}
用队列实现的话，效率会更高，像这样：
#include<iostream>
#include<string>
#include<queue>
using namespace std;
const int INF = 1000000000;
const int MAXN = 1000;
const int MAXM = 100000;
int n, m;
int first[MAXN], d[MAXN];
int u[MAXM], v[MAXM], w[MAXM], next[MAXM];
int main() {
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < n; ++i) first[i] = -1;
for(int e = 0; e < m; ++e) {
cin >> u[e] >> v[e] >> w[e];
next[e] = first[u[e]];
first[u[e]] = e;
}
queue<int> q;
int inq[MAXN];
for(int i = 0; i < n; ++i) d[i] = (i==0 ? 0 : INF);
memset(inq, 0, sizeof(inq));
q.push(0);
while(!q.empty()) {
int x = q.front(); q.pop();
inq[x] = 0; //标记x不在队列中
for(int e = first[x]; e != -1; e = next[e]) if(d[v[e]] > d[x]+w[e]) {
d[v[e]] = d[x] + w[e];
if(!inq[v[e]]) { //如果点v[e]不在队列中
inq[v[e]] = 1; //标记点v[e]在队列中
q.push(v[e]);
}
}
}
for(int i = 0; i < n; i++) cout << d[i] << endl;
return 0;
}
（五）Floyd算法
如果要求计算每两点之间的最短路：
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
const int INF = 1000000;
int d[MAXN][MAXN];
int n;
int main() {
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; ++i) {
for(int j = 0; j < n; ++j) {
if(i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
}
}
for(int k = 0; k < n; ++k) {
for(int i = 0; i < n; ++i) {
for(int j = 0; j < n; ++j) {
if(d[i][j] < INF && d[k][j] < INF) d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j]);
}
}
}
for(int i = 0; i < n; ++i) {
for(int j = 0; j < n; ++j) {
cout << d[i][j] << endl;
}
}
return 0;
}
ACM：最短路，dijkstra，邻接表的建立，使用邻接表跟优先队列的dijkstra，Bellman-Ford，Floyd。。
时间： 2024-12-09 12:01:55