- 不定积分的概念 若函数$f(x)$在$(a,b)$区间有定义且是连续的，$F(x)$是其原函数，即$F‘(x)=f(x),$则当$a<x<b$时，
$\int f(x)dx=F(x)+C, $ $ a<x<b$
其中$C$是任意常数.
2.不定积分的基本性质
$(1) d[\int f(x)dx]=f(x);$
$(2)\int d\Phi =\Phi(x)+C$
$(3)\int Af(x)dx=A\inf f(x)dx $ $(A$为常数且$A\ne 0)$;
$(4)\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$.
3.最简积分表
$(1)\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1);\\(2)\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C(x\ne 0);\\(3)\int \frac{dx}{1+x^2}=\left\{\begin{array}{} \arctan x+C,\\-\arctan x+C;\end{array}\right.\\(4)\int \frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln |\frac{1+x}{1-x}|+C;\\(5)\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{\begin{array}{}\arcsin x+C,\\-\arccos x+C;\end{array}\right.\\(6)\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm 1}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm 1}|+C;\\(7)\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1);\\ \;\;\; \int e^xdx=e^x+C;\\(8)\int \sin xdx=-\cos x+C;\\(9)\int \cos xdx=\sin x+C;\\(10)\int \frac{dx}{\sin^2 x}=-\cot x+C;\\(11)\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\tan x+C;\\(12)\int sh xdx=ch x+C;\\(13)\int ch xdx=sh x+C;\\(14)\int \frac{dx}{sh^2 x}=-cth x+C;\\(15)\int \frac{dx}{ch^2 x}=th x+C.$
4.基本积分方法
$(1)$换元积分法 若$$\int f(x)dx=F(x)+C,$$
则$$\int f(u)du=F(u)+C,$$
其中$u=\phi (x)$为连续可微分函数.
$(2)$分项积分法 若$$f(x)=f_1(x)+f_2(x),$$
则$$\int f(x)dx=\int f_1(x)dx+\int f_2(x)dx.$$
$(3)$代换法 若$f(x)$是连续函数，设$x=\phi (t),$
其中$\phi(t)$与其导数$\phi‘(t)$都是连续的,则得出
$$\int f(x)dx=\int f(\phi(t))\phi‘(t)dt.$$
$(4)$分部积分法 若$u$和$v$是$x$的可微分函数，则
$$\int udv=uv-\int vdu.$$