待字闺中之n个色子之和分析

n个色子，每个色子m面，每一面的值分别是1-m。你将n个色子同时抛，落地后将所有朝上面的数字加起来，记为sum。给定一个数字x，如果sum>x，则你赢。给定n，m，x，求你赢的概率。

• 1<=n<=100
• 1<=m<=10
• m<=x< n*m

分析

这个题目的描述，是将具体的问题一般化了。掌握了，这个问题的分析，就可以对这类问题通吃。一个具体的情况是什么呢？两个色子，每个色子六面，同时抛，求朝上数字和大于某一个值的概率。这个情况比较简单，两个色子同时抛，一共36种情况，注意这里有的和是相同的。此时，最少可以通过穷举的方法，得到答案。但是本题中的意思，显然是无法通过穷举呢？那该如何分析呢？

n个色子，每个色子m面。则一共有m^n中情况（类比上面分析的36种情况）。在这些里面，有多少个和是大于x的呢？假设，f(n,x)表示n个色子，所有朝上的数字和是x的情况数量。对于某一个色子，每一面朝上的概率是1/m。假设这个色子的k面朝上，1<=k<=m，则f(n,x) = sum{f(n - 1, x - k)} 1<=k<=m。递归的终止条件是，当只有一个色子的时候，f(1,k) = 1, 1<=k<=m，其他都是0

则最终的概率为(f(n, x + 1) + … + f(n, m*n)) / m^n。每一个大于x的和的可能情况数量之和除以总的情况数量。

代码如下：

double NDiceWithMSide(int n,int m,int x)//n个色子，m个面，求和大于x的概率
{
	int i,j,k,MaxPoint = n*m,SumOfAll = pow(m,n);
	int** f = new int* [n+1];
	for(i=0;i<=n;i++)
	{
		f[i] = new int[MaxPoint+1];
	}
	for(j = 1; j<=m;j++)f[1][j] = 1;//初始化一个色子
	for(i = 2;i <= n;i++)
	{
		for(j = i;j <= i*m;j++)
		{
			f[i][j] = 0;
			for(k=1;k<=m && k<j;k++)
			{
				f[i][j] += f[i-1][j-k];//<span style="color: rgb(51, 51, 51); font-family: Verdana, Arial, Tahoma, Helvetica, Georgia, sans-serif, STXihei, 华文黑体, Hei, 'Hiragino Kaku Gothic Pro', SimSun; line-height: 27.19999885559082px;">f(n,x) = sum{f(n - 1, x - k)} </span>
			}
		}
	}
	int sum  = 0;
	for(i=x+1;i<= MaxPoint;i++)
	{
		sum  += f[n][i];
	}
	for(i=0;i<=n;i++)delete[] f[i];
	delete[] f;
	return (double)sum / SumOfAll;
}

如有问题，请指正，谢谢

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