【线性代数】方程组的几何解释

一、二维情况

首先，给出如下的二元一次方程组：

我们初中就对上面的二元一次方程组进行过求解，求解很简单。但是我们现在利用线性代数来表示这个式子，上式可以表示为：

我们这里假设用小写字母表示向量，大写字母表示矩阵。上面可以二元一次方程组便转化为求解x,y。下面我们从几种不同的角度来求解上面的方程组：

1、从行的角度看，也就是画出上面两个方程的图像：

很明显的可以看出方程的解是x=1,y=2。

2、从列的角度看，方程组可以表现为列的线性组合：

令向量a=[2 -1]‘，b=[-1 2]‘，c=[0 3]‘，则问题变为找到适当的x,y将向量a b 进行线性组合得到向量c。同样我们可以通过作图求解：

从上图可以看到(2,-1)+2(-1,2)=(0,3)，从而得到x=1,y=2。

二、三维情况

上面的问题都是在二维平面上进行求解的，下面来看看三维下的情况：首先，给出三元一次方程组：

同样可以得到其矩阵的表示形式：

还是按照上面的方法分析：

1、从行的角度看，也就是画出上面三个方程的图像（在这里变成了三维空间的平面）：

上图的matlab代码为：

figure
t=-10:.1:10;
[x,z]=meshgrid(t);
y=2*x;
mesh(x,y,z);
hold on
y=(x+z-1)/2;
mesh(x,y,z)
hold on
y=-(4-4*z)/3;
mesh(x,y,z)

然后人工进行一些修正即可

从图中可以看出，三个平面交于一点(0 0 1)也就是方程组的解：x=0 y=0 z=1。

2、同样从列的角度考虑该问题：

不用通过计算或作图，我们从上式就可以轻易得到x=y=0 z=1，这比上面一种方法要简单得多。

画出上面四个列向量的图（其中后两个列向量相同（0 -1 4）‘）:

上图的matlab代码为：

a=[2 -1 0];
b=[-1 2 3];
c=[0 -1 4];
quiver3(0,0,0,a(1),a(2),a(3),'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),'color','g')
hold on
quiver3(0,0,0,c(1),c(2),c(3),'color','b')

然后人工标上箭头，当然也可以通过命令标上箭头。