MT【298】双参数非齐次

若函数$f(x)=x^2+(\dfrac{1}{3}+a)x+b$在$[-1,1]$上有零点,则$a^2-3b$的最小值为_____

分析:设零点为$x_0$,则$b=-x^2_0-(\dfrac{1}{3}+a)x_0$,
$a^2-3b=a^2+3x_0^2+(1+3a)x_0=(a+\dfrac{3}{2}x_0)^2+\dfrac{3}{4}(x_0+\dfrac{2}{3})^2-\dfrac{1}{3}\ge-\dfrac{1}{3}$
练习:设二次函数$f(x)=ax^2+(2b+1)x-a-2(a,b\in R,a\ne0)$在$[3,4]$上至少有一个零点,求$a^2+b^2$的最小值____

提示:答案:$\dfrac{1}{100}$
法一:看成关于$a,b$的直线方程:$(x^2-1)a+2xb+x-2=0$利用直线上的点$(a,b)$到原点的距离$\ge$ 到直线的距离即:$\sqrt{a^2+b^2}\ge\dfrac{|x-2|}{\sqrt{(x^2-1)^2+(2x)^2}}\ge\dfrac{1}{10}$
法二:$(2-x)^2=((x^2-1)a+2xb)^2\le((x^2-1)^2+(2x)^2)(a^2+b^2)$易得.

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