写在前面：
由我们可爱的Daniel Sleator和Robert Tarjan提出的一种数据结构，平衡树的一种，本质是二叉树。
至于到底是splay还是spaly，我认为可能splay更对一些
毕竟splay是有实意的单词，更有可能一点。而且WIKI百科页也是splay
以下是本人学习splay的一点过程，请多指教喽
SPLAY
那么我在这里复习整理一下spaly的代码相关吧
例题：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224
参考博客：http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50636361
1 #include<cstdio>
2 #define maxn 500100
3 using namespace std;
4 int root,N,tot;
5 inline int read(){
6 register int x=0,t=1;
7 register char ch=getchar();
8 while((ch<‘0‘||ch>‘9‘)&&ch!=‘-‘)ch=getchar();
9 if(ch==‘-‘){t=-1;ch=getchar();}
10 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
11 return x*t;
12 }
13 struct node{
14 int ch[2],ff,cnt,val,sum;
15 }t[maxn];
16 void pushup(int u){
17 t[u].sum=t[t[u].ch[0]].sum+t[t[u].ch[1]].sum+t[u].cnt;
18 }
19 void rotate(int x){
20 register int y=t[x].ff;
21 register int z=t[y].ff;
22 register int k=t[y].ch[1]==x;
23 t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;t[x].ff=z;
24 t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];t[t[x].ch[k^1]].ff=y;
25 t[x].ch[k^1]=y;t[y].ff=x;
26 pushup(y),pushup(x);
27 }
28 void splay(int x,int goal){
29 while(t[x].ff!=goal){
30 int y=t[x].ff;
31 int z=t[y].ff;
32 if(z!=goal)
33 (t[y].ch[0]==x)^(t[z].ch[0]==y)?rotate(x):rotate(y);
34 rotate(x);
35 }
36 if(goal==0)
37 root=x;
38 }
39 void insert(int x){
40 int u=root,ff=0;
41 while(u&&t[u].val!=x){
42 ff=u;
43 u=t[u].ch[x>t[u].val];
44 }
45 if(u)
46 t[u].cnt++;
47 else{
48 u=++tot;
49 if(ff)
50 t[ff].ch[x>t[ff].val]=u;
51 t[tot].ch[0]=0;
52 t[tot].ch[1]=0;
53 t[tot].ff=ff;t[tot].val=x;
54 t[tot].cnt=t[tot].sum=1;
55 }
56 splay(u,0);
57 }
58 void find(int x){
59 int u=root;
60 if(!u)return;
61 while(t[u].ch[x>t[u].val]&&x!=t[u].val)
62 u=t[u].ch[x>t[u].val];
63 splay(u,0);
64 }
65 int next(int x,int f){
66 find(x);
67 int u=root;
68 if((t[u].val>x&&f)||(t[u].val<x&&!f))return u;
69 u=t[u].ch[f];
70 while(t[u].ch[f^1])u=t[u].ch[f^1];
71 return u;
72 }
73 void del(int x){
74 int la=next(x,0);
75 int ne=next(x,1);
76 splay(la,0),splay(ne,la);
77 int d=t[ne].ch[0];
78 if(t[d].cnt>1){
79 t[d].cnt--;
80 splay(d,0);
81 }
82 else
83 t[ne].ch[0]=0;
84 }
85 int K_th(int x){
86 int u=root;
87 if(t[u].sum<x)
88 return 0;
89 while(1){
90 int y=t[u].ch[0];
91 if(x>t[y].sum+t[u].cnt){
92 x-=t[y].sum+t[u].cnt;
93 u=t[u].ch[1];
94 }
95 else if(t[y].sum>=x)
96 u=y;
97 else
98 return t[u].val;
99 }
100 }
101 int main(){
102 insert(-2147483647);
103 insert(+2147483647);
104 N=read();
105 while(N--){
106 int opt=read();
107 if(opt==1)insert(read());
108 else if(opt==2)del(read());
109 else if(opt==3){
110 find(read());
111 printf("%d\n",t[t[root].ch[0]].sum);
112 }
113 else if(opt==4)printf("%d\n",K_th(read()+1));
114 else if(opt==5)printf("%d\n",t[next(read(),0)].val);
115 else if(opt==6)printf("%d\n",t[next(read(),1)].val);
116 }
117 return 0;
118 }
上面那份代码其实是洛谷上的。。。本来想自己写的，但是怎么调都过不去5555（；′д｀）ゞ
算了吧，既然抄了代码就要抄的明明白白，这里让我们看看splay到底是怎么维护的吧
首先是一些基本操作：
1.rotate
就是这个东西，保证了二叉树储存的元素顺序不变，大小顺序不变，总之转它就对了。
1 void rotate(int x){
2 register int y=t[x].ff;
3 register int z=t[y].ff;
4 register int k=t[y].ch[1]==x;
5 t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;t[x].ff=z;
6 t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];t[t[x].ch[k^1]].ff=y;
7 t[x].ch[k^1]=y;t[y].ff=x;
8 pushup(y),pushup(x);
9 }
2.splay
splay是依靠平均操作来降低复杂度的，其实有点玄学，splay这个操作就是要把每次查询和修改的中心重新改变成根，
在这个过程中尽可能的让树的大小平衡，即尽可能打断原先树上存在的链，把他们压成树。。。
反正挺神的，记住写双旋时有先后就对了，尽量让树平衡。
1 void splay(int x,int goal){
2 while(t[x].ff!=goal){
3 int y=t[x].ff;
4 int z=t[y].ff;
5 if(z!=goal)
6 (t[y].ch[0]==x)^(t[z].ch[0]==y)?rotate(x):rotate(y);
7 rotate(x);
8 }
9 if(goal==0)
10 root=x;
11 }
em。。。接下来挑一些重点（我蒙过的）讲吧。。。
3.del
删除操作，为了精确定位我们想删掉的那个点，我们选择找到他的前驱，旋到根上，再找他的后继，旋到前驱下面
这样的话这个点只能在后继的左儿子上了
但是如果这个点没有前驱和后继岂不是药丸??？
那我们就干脆插入一个+inf和-inf，保证有前驱和后继，但是相对的作为代价我们还要修改其他的几个函数
1 void del(int x){
2 int la=next(x,0);
3 int ne=next(x,1);
4 splay(la,0),splay(ne,la);
5 int d=t[ne].ch[0];
6 if(t[d].cnt>1){
7 t[d].cnt--;
8 splay(d,0);
9 }
10 else
11 t[ne].ch[0]=0;
12 }
4.查询排名
查找这个数在这里的第几名？首先把他找到再旋到根上（这时候如果这个数不在树里，会发生什么呢？表示蒙圈=￣ω￣=）
然后理论上是应该所有比他小的数的个数+1，也就是左儿子sum+1
但是因为咱插了个-inf还得-1，所以就直接是左儿子sum
5.查询排名位k的是谁
同理，还是因为极值的问题，查询第k名就要变成查询k+1名
1 int K_th(int x){
2 int u=root;
3 if(t[u].sum<x)
4 return 0;
5 while(1){
6 int y=t[u].ch[0];
7 if(x>t[y].sum+t[u].cnt){
8 x-=t[y].sum+t[u].cnt;
9 u=t[u].ch[1];
10 }
11 else if(t[y].sum>=x)
12 u=y;
13 else
14 return t[u].val;
15 }
16 }
但是以上只是个平衡树板子，splay作为平衡树中独特的一员，有着自己独特的闪光点（出难题的坑点╰（‵□′）╯
让我们对splay自己独到的用法再进一步探究
P3391 【模板】文艺平衡树（Splay）
这道题是splay裸题，利用的就是splay可以维护区间翻转
具体实现就是首先以每个数的位置作为比较大小的权值，再附上一个标记，表示这个节点及其所有儿子都要交换他们的左右儿子，但谁还都没换（包括自己
这样交换了左右儿子后，就相当于改变了比较大小的方式，原先较小的反而在较大的位置上，就实现了区间反转
例如要翻转(l,r)，那么把前驱l旋到根上，后继旋到他后面，这段区间自然就卡成一段子树了，打个标记即可~
对应的K_th函数也有些改动，最后遍历一遍就是答案啦
注意，
所有自上到下的函数（K_th,go）都应该每次pushdown，但insert因为是之前做的，与标记无关，就不用了
而splay这种自下而上的函数则要先把一路的节点记下来，再从上往从下传标记，然后再旋，详细看代码吧
代码（我自己YY了半天才弄出来(ノへ￣、)好弱啊）：
1 #include<cstdio>
2 #include<algorithm>
3 using namespace std;
4 int n,m,root,tot;
5 struct node{
6 int f,val,ch[2],sum;
7 bool rev;
8 }t[200005];
9 void pushup(int x){
10 t[x].sum=t[t[x].ch[0]].sum+t[t[x].ch[1]].sum+1;
11 }
12 void pushdown(int x){
13 if(t[x].rev){
14 t[t[x].ch[0]].rev^=1;
15 t[t[x].ch[1]].rev^=1;
16 t[x].rev^=1;swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);
17 }
18 }
19 void rotate(int x){
20 register int y=t[x].f;
21 register int z=t[y].f;
22 register int k=t[y].ch[1]==x;
23 t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;t[x].f=z;
24 t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];t[t[x].ch[k^1]].f=y;
25 t[x].ch[k^1]=y;t[y].f=x;
26 pushup(y),pushup(x);
27 }
28 int st[200005],top;
29 void splay(int x,int goal){
30 top=1;st[1]=x;
31 for(int i=x;t[i].f!=goal;i=t[i].f)st[++top]=t[i].f;
32 for(int i=top;i>=1;i--)pushdown(st[i]);
33 while(t[x].f!=goal){
34 int y=t[x].f;
35 int z=t[y].f;
36 if(z!=goal)
37 (t[z].ch[0]==y)^(t[y].ch[0]==x)?rotate(x):rotate(y);
38 rotate(x);
39 }
40 if(goal==0)
41 root=x;
42 }
43 void insert(int x){
44 int u=root,ff=0;
45 while(u&&t[u].val!=x){
46 ff=u;
47 u=t[u].ch[x>t[u].val];
48 }
49 u=++tot;
50 if(ff)
51 t[ff].ch[x>t[ff].val]=u;
52 t[u].f=ff;t[u].val=x;
53 t[u].rev=0;
54 t[u].ch[0]=0;t[u].ch[1]=0;
55 splay(u,0);
56 }
57 int K_th(int x){
58 int u=root;
59 while(1){
60 pushdown(u);
61 int y=t[u].ch[0];
62 if(x>t[y].sum+1){
63 x-=t[y].sum+1;
64 u=t[u].ch[1];
65 }
66 else if(x<=t[y].sum)u=y;
67 else return u;
68 }
69 }
70 void go(int x){
71 if(!x)return;
72 pushdown(x);
73 go(t[x].ch[0]);
74 st[++top]=t[x].val;
75 go(t[x].ch[1]);
76 }
77 int main(){
78 scanf("%d%d",&n,&m);
79 for(int i=1;i<=n;i++)insert(i);
80 insert(-2147483647);
81 insert(+2147483647);
82 for(int i=1,l,r;i<=m;i++){
83 scanf("%d%d",&l,&r);
84 l--;r++;
85 l=K_th(l+1),splay(l,0);
86 r=K_th(r+1),splay(r,l);
87 t[t[r].ch[0]].rev^=1;
88
89 }
90 top=0;
91 go(root);
92 printf("%d ",st[2]);
93 for(int i=3;i<=n+1;i++)
94 printf("%d ",st[i]);
95 return 0;
96 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/2017SSY/p/10158932.html
时间： 2024-10-05 01:42:27