(a) ①根据堆性质以每个结点为根的子树的最小优先级都是在子树的根上。②根据二叉搜索树性质，以每个节点的根的子树的左子树<右子树。
根据这两点根和左右子树都是被唯一确定，因此能够确定整棵树。
(b)Treap树是二叉查找树的一种，而二叉查找树期望高度为O(lgn),所以treap期望高度为O(lgn).
(c)代码如下：
//13-4 Treap树
#include <iostream>
#include <time.h>
using namespace std;
#define LEN sizeof(struct Treap)
#define n 100//树中元素个数。
struct Treap
{
char key;
int priority;
struct Treap*lchild;
struct Treap*rchild;
struct Treap*parent;
};
struct Treap*root=NULL;
int RAND(int a[],int i)//随机选择N个互不相同的数。
{
int k=rand()%n+1;
for (int j=0;j<i;j++)
{
if (a[j]==k)
{
k=rand()%n+1;
j=-1;
}
}
return k;
}
struct Treap*LEFT_ROTATE(struct Treap*x)
{//左旋转：分三个步骤①②③来叙述旋转代码的。
struct Treap*y=x->rchild;//设置y结点。
x->rchild=y->lchild;//本行代码以及下面的if结构表达的是“y的左孩子成为x的右孩子”。①
if(y->lchild!=NULL)
{
y->lchild->parent=x;
}
y->parent=x->parent;//本行代码以及下面的if-else结构表达的过程是“y成为该子树新的根”。②
if(x->parent==NULL)
{
root=y;
}
else if(x==x->parent->lchild)
{
x->parent->lchild=y;
}
else x->parent->rchild=y;
y->lchild=x;//本行代码以及下面一行都表达了“x成为y的左孩子”。③
x->parent=y;
return y;
}
struct Treap* RIGHT_ROTATE(struct Treap*x)
{//右旋转：分三个步骤①②③来叙述旋转代码的。
struct Treap*y=x->lchild;//设置y结点。
x->lchild=y->rchild;//本行代码以及下面的if结构表达的是“y的左孩子成为x的右孩子”。①
if(y->rchild!=NULL)
{
y->rchild->parent=x;
}
y->parent=x->parent;//本行代码以及下面的if-else结构表达的过程是“y成为该子树新的根”。②
if(x->parent==NULL)
{
root=y;
}
else if(x==x->parent->rchild)
{
x->parent->rchild=y;
}
else x->parent->lchild=y;
y->rchild=x;//本行代码以及下面一行都表达了“x成为y的左孩子”。③
x->parent=y;
// 结点的位置变了, 要更新结点的高度值
return y;
}
//非递归的插入函数
void ITERATIVE_TREE_INSERT(struct Treap*&root,struct Treap*z)
{
struct Treap*y=NULL;
struct Treap*x=root;
while (x)
{
y=x;
if (z->key<x->key)
x=x->lchild;
else x=x->rchild;
}
z->parent=y;
if (y==NULL)
{
root=z;
}
else if(z->key<y->key)
{
y->lchild=z;
}
else y->rchild=z;
z->lchild=z->rchild=NULL;
struct Treap*p=y;
while (z->parent!=NULL&&z->priority<z->parent->priority)
{//和AVL树类似，从新插入结点往上查询满足条件的结点做旋转，直到满足Treap树。
if (z->parent->lchild==z)//z是左孩子
{
p=RIGHT_ROTATE(p);
}
else//z是右孩子
{
p=LEFT_ROTATE(p);
}
p=p->parent;
}
}
//中序遍历
void InOderTraverse(struct Treap *p)
{
if (p)
{
InOderTraverse(p->lchild);
cout<<p->key<<" "<<p->priority<<endl;
InOderTraverse(p->rchild);
}
}
void main()
{
srand( (unsigned)time( NULL ) );
int i=0;
char B[10]={'G','B','H','A','E','K','I','C','D','F'};
int a[10]={0};
while (i!=10)
{
struct Treap*z=new struct Treap[LEN];
z->key=B[i];
z->priority=RAND(a,i);
a[i++]=z->priority;
ITERATIVE_TREE_INSERT(root,z);
}
InOderTraverse(root);
}
(d)正如题目中所说的。Treap_insert先执行一个查找然后做一些列旋转。查找时是从树根一直向下移动到叶子结点的一条简单路径上。而旋转则是从新插入结点往上移动到根结点，所以两者都要进行O(h)次迭代或者递归操作，其中h=O(lgn)(根据b部分)，所以Treap_insert操作需要O(lgn)期望时间。
(e)根据Treap_insert函数的最后旋转循环知：若新结点z是其父的左孩子(x是z的右子树)，则进行右旋转，右旋转是以左脊柱为轴进行的，旋转次数为D。若z是其父的右孩子(x是z的左子树)，则以右脊柱为轴做左旋转。旋转次数C注意这里的z和题目中的x不一样。总旋转次数=C+D。
(f)若y是x左子树的右脊柱：
如图可知：根据堆的性质，y的优先级大于x优先级。根据二叉查找树性质，key[y]<key[x],而对于z，y的优先级小于z的优先级。其他情况都不满足y是x左子树的右脊柱的前提。
(g) 从关键字k到i有k-i+1个数据，也就是有(k-i+1)!种二叉查找树可能的结构。其中满足y是x左子树的右脊柱的结构有(k-i+1-2)!种，其中k和k的左孩子是位置固定不变的。那么k到i中满足f的概率就是g所给的答案。数学简化过程略。
(h)此处用到了期望值的定义。i有1到k-1个取值可能，所以对于这k-1种可能中的每种可能都有发生f部分的情况。这些情况做个期望∑就得到了期望值E(C).
(i)根据对称性，若y是x右子树的左脊柱，那么g的概率分析可以拿来直接用，而根据h. i的取值范围变成了1到n-k，有n-k种取值，分析过程和h类似。
(j)旋转次数=E(C)+E(D)=2-1/k-1/(n-k+1)<2,所以期望次数小于2次。旋转次数为常数次。