机器学习算法：决策树

决策树的核心思想是：根据训练样本构建这样一棵树，使得其叶节点是分类标签，非叶节点是判断条件，这样对于一个未知样本，能在树上找到一条路径到达叶节点，就得到了它的分类。

举个简单的例子，如何识别有毒的蘑菇？如果能够得到一棵这样的决策树，那么对于一个未知的蘑菇就很容易判断出它是否有毒了。

                          
                          它是什么颜色的？
                               |
                 -------鲜艳---------浅色----
                |                           |
              有毒                      有什么气味？
                                            |
                              -----刺激性--------无味-----
                             |                           |
                            有毒                        安全

构建决策树有很多算法，常用的有ID3、C4.5、CART等。本篇以ID3为研究算法。

构建决策树的关键在于每一次分支时选择哪个特征作为分界条件。这里的原则是：选择最能把数据变得有序的特征作为分界条件。所谓有序，是指划分后，每一个分支集合的标签尽可能一致。用信息论的方式表述，就是选择信息增益最大的方式划分集合。

所谓信息增益（information gain），是指变化前后熵（entropy）的增加量。为了计算熵，需要计算所有类别所有可能值包含的信息期望值，通过下面的公式得到：

其中H为熵，n为分类数目，p(xi)是选择该分类的概率。

根据公式，计算一个集合熵的方式为：

计算每个分类出现的次数
foreach(每一个分类)
{
    计算出现概率
    根据概率计算熵
    累加熵
}
return 累加结果

判断如何划分集合，方式为：

foreach(每一个特征)
{
    计算按此特征切分时的熵
    计算与切分前相比的信息增益
    保留能产生最大增益的特征为切分方式
}
return 选定的特征

构建树节点的方法为：

if(集合没有特征可用了)
{
    按多数原则决定此节点的分类
}
else if(集合中所有样本的分类都一致)
{
    此标签就是节点分类
}
else
{
    以最佳方式切分集合
    每一种可能形成当前节点的一个分支
    递归
}

OK，上C#版代码，DataVector和上篇文章一样，不放了，只放核心算法：

using System;
using System.Collections.Generic;

namespace MachineLearning
{
    /// <summary>
    /// 决策树节点
    /// </summary>
    public class DecisionNode
    {
        /// <summary>
        /// 此节点的分类标签，为空表示此节点不是叶节点
        /// </summary>
        public string Label { get; set; }
        /// <summary>
        /// 此节点的划分特征，为-1表示此节点是叶节点
        /// </summary>
        public int FeatureIndex { get; set; }
        /// <summary>
        /// 分支
        /// </summary>
        public Dictionary<string, DecisionNode> Child { get; set; }

        public DecisionNode()
        {
            this.FeatureIndex = -1;
            this.Child = new Dictionary<string, DecisionNode>();
        }
    }
}
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace MachineLearning
{
    /// <summary>
    /// 决策树(ID3算法)
    /// </summary>
    public class DecisionTree
    {
        private DecisionNode m_Tree;

        /// <summary>
        /// 训练
        /// </summary>
        /// <param name="trainingSet"></param>
        public void Train(List<DataVector<string>> trainingSet)
        {
            var features = new List<int>(trainingSet[0].Dimension);
            for(int i = 0;i < trainingSet[0].Dimension;++i)
                features.Add(i);
                
            //生成决策树
            m_Tree = CreateTree(trainingSet, features);
        }

        /// <summary>
        /// 分类
        /// </summary>
        /// <param name="vector"></param>
        /// <returns></returns>
        public string Classify(DataVector<string> vector)
        {
            return Classify(vector, m_Tree);
        }

        /// <summary>
        /// 分类
        /// </summary>
        /// <param name="vector"></param>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        private string Classify(DataVector<string> vector, DecisionNode node)
        {
            var label = string.Empty;
            
            if(!string.IsNullOrEmpty(node.Label))
            {
                //是叶节点，直接返回结果
                label = node.Label;
            }
            else
            {
                //取需要分类的字段，继续深入
                var key = vector.Data[node.FeatureIndex];
                if(node.Child.ContainsKey(key))
                    label = Classify(vector, node.Child[key]);
                else
                    label = "[UNKNOWN]";
            }
            return label;
        }
        
        /// <summary>
        /// 创建决策树
        /// </summary>
        /// <param name="dataSet"></param>
        /// <param name="features"></param>
        /// <returns></returns>
        private DecisionNode CreateTree(List<DataVector<string>> dataSet, List<int> features)
        {
            var node = new DecisionNode();
            
            if(dataSet[0].Dimension == 0)
            {
                //所有字段已用完，按多数原则决定Label，结束分类
                node.Label = GetMajorLabel(dataSet);
            }
            else if(dataSet.Count == dataSet.Count(d => string.Equals(d.Label, dataSet[0].Label)))
            {
                //如果数据集中的Label相同，结束分类
                node.Label = dataSet[0].Label;
            }
            else
            {
                //挑选一个最佳分类，分割集合，递归
                int featureIndex = ChooseBestFeature(dataSet);
                node.FeatureIndex = features[featureIndex];
                var uniqueValues = GetUniqueValues(dataSet, featureIndex);
                features.RemoveAt(featureIndex);
                foreach(var value in uniqueValues)
                {
                    node.Child[value.ToString()] = CreateTree(SplitDataSet(dataSet, featureIndex, value), new List<int>(features));
                }
            }
            
            return node;
        }
        
        /// <summary>
        /// 计算给定集合的香农熵
        /// </summary>
        /// <param name="dataSet"></param>
        /// <returns></returns>
        private double ComputeShannon(List<DataVector<string>> dataSet)
        {
            double shannon = 0.0;
            
            var dict = new Dictionary<string, int>();
            foreach(var item in dataSet)
            {
                if(!dict.ContainsKey(item.Label))
                    dict[item.Label] = 0;
                dict[item.Label] += 1;
            }
            
            foreach(var label in dict.Keys)
            {
                double prob = dict[label] * 1.0 / dataSet.Count;
                shannon -= prob * Math.Log(prob, 2);
            }
            
            return shannon;
        }
        
        /// <summary>
        /// 用给定的方式切分出数据子集
        /// </summary>
        /// <param name="dataSet"></param>
        /// <param name="splitIndex"></param>
        /// <param name="value"></param>
        /// <returns></returns>
        private List<DataVector<string>> SplitDataSet(List<DataVector<string>> dataSet, int splitIndex, string value)
        {
            var newDataSet = new List<DataVector<string>>();
            
            foreach(var item in dataSet)
            {
                //只保留指定维度上符合给定值的项
                if(item.Data[splitIndex] == value)
                {
                    var newItem = new DataVector<string>(item.Dimension - 1);
                    newItem.Label = item.Label;
                    Array.Copy(item.Data, 0, newItem.Data, 0, splitIndex - 0);
                    Array.Copy(item.Data, splitIndex + 1, newItem.Data, splitIndex, item.Dimension - splitIndex - 1);
                    newDataSet.Add(newItem);
                }
            }
            
            return newDataSet;
        }

        /// <summary>
        /// 在给定的数据集上选择一个最好的切分方式
        /// </summary>
        /// <param name="dataSet"></param>
        /// <returns></returns>
        private int ChooseBestFeature(List<DataVector<string>> dataSet)
        {
            int bestFeature = -1;
            double bestInfoGain = 0.0;
            double baseShannon = ComputeShannon(dataSet);
            
            //遍历每一个维度来寻找
            for(int i = 0;i < dataSet[0].Dimension;++i)
            {
                var uniqueValues = GetUniqueValues(dataSet, i);
                double newShannon = 0.0;

                //遍历此维度下的每一个可能值，切分数据集并计算熵
                foreach(var value in uniqueValues)
                {
                    var subSet = SplitDataSet(dataSet, i, value);
                    double prob = subSet.Count * 1.0 / dataSet.Count;
                    newShannon += prob * ComputeShannon(subSet);
                }

                //计算信息增益，保留最佳切分方式
                double infoGain = baseShannon - newShannon;
                if(infoGain > bestInfoGain)
                {
                    bestInfoGain = infoGain;
                    bestFeature = i;
                }
            }
            
            return bestFeature;
        }

        /// <summary>
        /// 数据去重
        /// </summary>
        /// <param name="dataSet"></param>
        /// <param name="index"></param>
        /// <returns></returns>
        private List<string> GetUniqueValues(List<DataVector<string>> dataSet, int index)
        {
            var dict = new Dictionary<string, int>();
            foreach(var item in dataSet)
            {
                dict[item.Data[index]] = 0;
            }
            return dict.Keys.ToList<string>();
        }

        /// <summary>
        /// 取多数标签
        /// </summary>
        /// <param name="dataSet"></param>
        /// <returns></returns>
        private string GetMajorLabel(List<DataVector<string>> dataSet)
        {
            var dict = new Dictionary<string, int>();
            foreach(var item in dataSet)
            {
                if(!dict.ContainsKey(item.Label))
                    dict[item.Label] = 0;
                dict[item.Label]++;
            }

            string label = string.Empty;
            int count = -1;
            foreach(var key in dict.Keys)
            {
                if(dict[key] > count)
                {
                    label = key;
                    count = dict[key];
                }
            }
            
            return label;
        }
    }
}

拿个例子实际检验一下，还是以毒蘑菇的识别为例，从这里找了点数据，http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/mushroom/agaricus-lepiota.data ，它整理了8000多个样本，每个样本描述了蘑菇的22个属性，比如形状、气味等等，然后给出了这个蘑菇是否可食用。

比如一行数据：p,x,s,n,t,p,f,c,n,k,e,e,s,s,w,w,p,w,o,p,k,s,u

第0个元素p表示poisonous（有毒），其它22个元素分别是蘑菇的属性，可以参见agaricus-lepiota.names的描述，但实际上根本不用关心具体含义。以此构建样本并测试错误率：

public void TestDecisionTree()
{
    var trainingSet = new List<DataVector<string>>();    //训练数据集
    var testSet = new List<DataVector<string>>();        //测试数据集
    
    //读取数据
    var file = new StreamReader("agaricus-lepiota.data", Encoding.Default);
    string line = string.Empty;
    int count = 0;
    while((line = file.ReadLine()) != null)
    {
        var parts = line.Split(‘,‘);
        
        var p = new DataVector<string>(22);
        p.Label = parts[0];
        for(int i = 0;i < p.Dimension;++i)
            p.Data[i] = parts[i + 1];
            
        //前7000作为训练样本，其余作为测试样本
        if(++count <= 7000)
            trainingSet.Add(p);
        else
            testSet.Add(p);
    }
    file.Close();

    //检验
    var dt = new DecisionTree();
    dt.Train(trainingSet);
    int error = 0;
    foreach(var p in testSet)
    {
        //做猜测分类，并与实际结果比较
        var label = dt.Classify(p);
        if(label != p.Label)
            ++error;
    }

    Console.WriteLine("Error = {0}/{1}, {2}%", error, testSet.Count, (error * 100.0 / testSet.Count));
}

使用7000个样本做训练，1124个样本做测试，只有4个猜测出错，错误率仅有0.35%，相当不错的结果。

生成的决策树是这样的：

{
    "FeatureIndex": 4,              //按第4个特征划分
    "Child": {
        "p": {"Label": "p"},        //如果第4个特征是p，则分类为p
        "a": {"Label": "e"},        //如果第4个特征是a，则分类是e
        "l": {"Label": "e"},
        "n": {
            "FeatureIndex": 19,            //如果第4个特征是n，要继续按第19个特征划分
            "Child": {
                "n": {"Label": "e"},
                "k": {"Label": "e"},
                "w": {
                    "FeatureIndex": 21,
                    "Child": {
                        "w": {"Label": "e"},
                        "l": {
                            "FeatureIndex": 2,
                            "Child": {
                                "c": {"Label": "e"},
                                "n": {"Label": "e"},
                                "w": {"Label": "p"},
                                "y": {"Label": "p"}
                            }
                        },
                        "d": {
                            "FeatureIndex": 1,
                            "Child": {
                                "y": {"Label": "p"},
                                "f": {"Label": "p"},
                                "s": {"Label": "e"}
                            }
                        },
                        "g": {"Label": "e"},
                        "p": {"Label": "e"}
                    }
                },
                "h": {"Label": "e"},
                "r": {"Label": "p"},
                "o": {"Label": "e"},
                "y": {"Label": "e"},
                "b": {"Label": "e"}
            }
        },
        "f": {"Label": "p"},
        "c": {"Label": "p"},
        "y": {"Label": "p"},
        "s": {"Label": "p"},
        "m": {"Label": "p"}
    }
}

可以看到，实际只使用了其中的5个特征，就能做出比较精确的判断了。

时间： 2024-07-29 11:37:00

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