题目1 : 数论五·欧拉函数

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描述

小Hi和小Ho有时候会用密码写信来互相联系，他们用了一个很大的数当做密钥。小Hi和小Ho约定了一个区间[L,R]，每次小Hi和小Ho会选择其中的一个数作为密钥。

小Hi：小Ho，这次我们选[L,R]中的一个数K。

小Ho：恩，小Hi，这个K是多少啊？

小Hi：这个K嘛，不如这一次小Ho你自己想办法算一算怎么样？我这次选择的K满足这样一个条件：

假设φ(n)表示1..n-1中与n互质的数的个数。对于[L,R]中的任意一个除K以外的整数y，满足φ(K)≤φ(y)且φ(K)=φ(y)时，K<y。

也即是K是[L,R]中φ(n)最小并且值也最小的数。

小Ho：噫，要我自己算么？

小Hi：没错！

小Ho：好吧，让我想一想啊。

<几分钟之后...>

小Ho：啊，不行了。。感觉好难算啊。

小Hi：没有那么难吧，小Ho你是怎么算的？

小Ho：我从枚举每一个L,R的数i，然后利用辗转相除法去计算[1,i]中和i互质的数的个数。但每计算一个数都要花好长的时间。

小Hi：你这样做的话，时间复杂度就很高了。不妨告诉你一个巧妙的算法吧：

提示：欧拉函数

输入

第1行：2个正整数, L,R，2≤L≤R≤5,000,000。

输出

第1行：1个整数，表示满足要求的数字K

样例输入

4 6

样例输出

4

下面介绍欧拉函数：

小Hi：刚刚我所描述的φ(n)，一般被称为欧拉函数。其定义为：小于n的正整数中与n互质的数的个数。

小Ho：又是欧拉么！

小Hi：毕竟是伟大的数学家，所以以他名字命名的东西很多啦。

对于φ(n)，我们有这样三个性质：



(1) 若n为素数，则φ(n) = n - 1

显然，由于n为素数，1~n-1与n都只有公因子1，因此φ(n) = n - 1。



(2) 若n = p^k，p为素数（即n为单个素数的整数幂），则φ(n) = (p-1)*p^(k-1)

因为n是p的整数幂，因此所有p的倍数和n都不互质。小于n的p的倍数一共有p^(k-1)-1个，因此和n互质的个数为：
p^k-1 - (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)
(3) 若p和q互质，则φ(p*q) = φ(p) * φ(q)
对于所有小于pq的整数u，可以表示为u=aq+r。(a=0,1,2,...,p-1，r=0,1,...,q-1)。
对于u = aq + r, 设R = u mod p，0≤R<q。对于一个固定的r，设a1, a2满足0 <= a1, a2 < p且a1≠a2，有：
u1 = a1*q+r, u2 = a2*q+r
u1-u2=(a1-a2)*q
因为p与q互质，且|a1-a2|<p，则|u1-u2|一定不是p的倍数。
所以对于每一个固定的r，其对应的p个u = a*q+r(a=0,1,2,...,p-1)对mod p来说余数都不相同，即u mod p的结果恰好取遍0,1,...,p-1中的每一个数。
下面我证明一个引理：u mod p与p互质 <=> u与p互质，其证明如下：
假设a,b互质,c = a mod b。
假设c与b不互质，则存在d≥1，使得c=nd, b=md。
由于c = a mod b，因此a = kb + c，
则a = kmd + nd = (kn+m)d
因此d是a,b的公因数，与a,b互质矛盾。
假设不成立，所以c与b互质。
因此对于任意一个确定的r，与其对应的p个u中恰好有φ(p)个与p互质。
同理，由u = aq + r知r与q互质 <=> u与q互质。因此在0..q-1中恰好有φ(q)个r使得u与q互质。
综上，当r与q互质的情况下，固定r可以得到φ(p)个与p和q都互质的数。
满足条件的r一共用φ(q)个，所以一共能找到有φ(p) * φ(q)个与p和q都互质的数。
由此得证：φ(p*q) = φ(p) * φ(q)
这一段证明不是太好理解，小Ho你一定要自己推导一遍哦。
小Ho：好。
小Hi：在上面这些性质的基础上我们能到推导出两条定理：
若p为质数，n为任意整数：
(1) 若p为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * p
若p为n的约数，且p为质数。则我们可以将n表示为p^k*m。m表示其他和p不同的质数的乘积。
显然有p^k与m互质，则：
φ(n) = φ(p^k)*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m)
φ(n*p) = φ(p^(k+1))*φ(m) = (p-1)*p^k*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m) * p =  φ(n) * p
(2) 若p为不为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * (p-1)
由p不为n的约数，因此p与n互质，所以φ(n*p) = φ(n) * φ(p) = φ(n)*(p-1)
根据这两条定理，当我们得到一个n时，可以枚举质数p来递推的求解φ(n*p)。这一步是不是觉得很眼熟呢？
小Ho：嗯...我想起了，这不是我们使用欧拉筛法时一样的算法么？
小Hi：没错！因此我们只需要在欧拉筛代码的基础上做一个小改动，就可以得到递推求解φ(n)的算法：
isPrime[] = true
primeList = []
phi = []	// phi[n]表示n的欧拉函数
primeCount = 0
For i = 2 .. N
	If isPrime[i] Then
		primeCount = primeCount + 1
		primeList[ primeCount ] = i
		phi[i] = i - 1 // 质数的欧拉函数为p-1
	End If
	For j = 1 .. primeCount
		If (i * primeList[j] > N) Then
			Break
		End If
		isPrime[ i * primeList[j] ] = false
		If (i % primeList[j] == 0) Then
			// primeList[j]是i的约数，φ(n*p) = φ(n) * p
			phi[ i * primeList[j] ] = phi[i] * primeList[j];
			Break
		Else
			// primeList[j]不是i的约数，φ(n*p) = φ(n) * (p-1)
			phi[ i * primeList[j] ] = phi[i] * (primeList[j] - 1);
		End If
	End If
End For
小Ho：因为欧拉筛的时间复杂度是O(n)的，因此求出一个大区间内所有数的欧拉函数也只用了O(n)的时间。接下来再使用O(n)的枚举就可以求得最小的K了。我知道该怎么做了！