warning：个人笔记与习题解答，必然有很多错误！！

觉得这一章很有意思，如果觉得看的过程是一种享受，习题就感觉容易些，如果觉得是任务，就会感觉很难，而且很不确定做的对不对

这一章的很多为什么感觉明显比上一章的简单，根据定义很容易得出，很多就不写了

3.1 基本事项

定义3.1.4为什么属于∈ 遵从带入公理A.7

对于集合A和B作为对象采用带入公理，并且根据相等关系定义，对于A=B，显然x同时属于A和B，证明完毕

公理3.2后面为什么

两个空集??′彼此相等

只需要说明? 中每个元素都属于?′， 这是成立的，因为空集中没有元素，反过来也一样，根据定义，这两个集合相等。

3.1.9的两个为什么都可以更加相等的定义说明

为什么a构成的单元素集唯一

为什么{a,b}={b,a}

为什么{a,a}={a}

例3.1.10为什么{?}≠?，因为?属于等号左边，不属于等候右边

注3.1.12中为什么并运算满足带入公理，只说明为什么A∪B=>A′∪B，等号左边的元素满足x∈A or x∈B 也就是x∈A′ or x∈B ，也就是A′∪B

公理3.5的分类公理又是一个以前经常用的概念被作为公理说明，想起了上一章的数学归纳法

习题3.1

3.1.1

A=A

左边A中每个元素都是右边A中元素，右边A中每个元素都是左边A中元素。

A=B <=> B=A

根据定义A中每个元素都是B中元素并且B中每个元素都是A中元素

A=B B=C => A=C

A中每个元素都是B中元素（A=B），也是C中元素（B=C）

C中每个元素都是B中元素（B=C），也是A中元素（A=B）

3.1.2

证明过程完全类似3.1.10中的为什么，公理3.3保证这些集合都是有效集合

3.1.3

a,b=a∪b

两边包含的元素x满足同样性质x=a or x=b

A∪B=B∪A

两边包含的元素x满足同样性质x∈A or x∈B，最后一个四元等式的元素都满足x∈A

3.1.4

A?B and B?A

则A中每个元素都是B中每个元素并且B中每个元素都是A中每个元素，刚好是相等的定义。后面一个结论的子集属性跟第一个结论相同，只需要说明A不等于C即可，用反证法。

3.1.5

A?B A∪B=B A∩B=A

等价，循环论证：

1->2

A?B 则A中每个元素都属于B，所以A∪B?B ，根据双并的定义，B?A∪B，所以A=B，证明完成

1->3的证明类似

3->1

A∩B=A 说明A中每个元素都既属于A又属于B，也就是A中每个元素都属于B

2->1的证明类似

3.1.6

(a)略，简单

(b)就是习题3.1.5

(c)略，根据定义证明

(d)略，根据定义证明

(e)就是引理3.1.13

(f)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

，如果x属于左边，则x属于A并且x属于B或者C，也就是x属于A并且B或者属于A并且C，就是右边。第二个等式类似证明

(g)

A∪(X?A)=X

如果x属于左边，则x属于A或者x属于X并且不属于A，等于A∪X，等于X

A∩(X?A)=?

x属于左边则x属于A并且A属于X并且不属于A也就是x属于A并且不属于A，所以为空集

(h)

X?(A∪B)=(X?A)∩(X?B)

如果x属于左边，则x属于X，并且不属于A与B，也就是x属于X并且不属于A，并且x属于X并且不属于B，也就是右边。第二个等式类似。

3.1.7 略

3.1.8 略

3.1.9

题目说明A和B没有共同元素，要证明

A=(A∪B)?B

如果x属于等号右边，则x为A和B中元素去掉B中元素，由于A和B没有共同元素，所以去掉过程不会去掉A中元素，所以只剩下A中元素，等号得证。

3.1.10

如果x∈A?B ，则x?B，所以x?A∩B

如果x∈A∩B，则x属于A并且属于B，而x∈A?B 要求x?B

综上，前两个集合不想交

其他不相交性同理

下面证明

(A?B)∪(B?A)∪(A∩B)=A∪B

，属于等号左边的元素显然或者属于A或者属于B，? 得证，对于?，对于满足x∈A∪B 的元素，或者只属于A或者只属于B或者同时属于A和B，分别是等号左边的3个集合。

3.1.11

分类：从A中选择满足P(x)成立的x

替换：满足从A中某个x，使得满足Q(x,y)的y(这里用了Q代替P)

可以这样定义Q(x,y)：P(x)并且y=x，这样得到的y的集合与P(x)选出的x的集合相同。

3.2 Russell悖论

每次看罗素悖论都得想半天才能明白怎么回事，集合论实在是难，抽象的数学都不好学。

习题3.2

3.2.1解答方法就是构造各种P(x)，点了个编辑别的文章，写的东西都丢了，懒得再敲键盘了，公理3.2-3.6都很简单

公理3.2

公理3.3

公理3.4

公理3.5

公理3.6

公理3.7

定义命题P(x)：P(0)为真，如果P(n)为真，满足公理2.1-2.5的P(n++)也为真，其余对象都为假

3.2.2 题目翻译的与前面不同，“单点集公理”前面公理3.3是“单元素集”，其实都是“singleton set”，看了英文版才确定是这样。

根据“singleton set”，反证法，假定A∈A，考虑元素A构成的单元素集合{A}，我们目标是证明这个集合不满足正则性，这个集合只有一个元素A，我们需要证明A与{A}相交。

由于A∈{A} （集合定义）

A∈A （反证法假定）

由于{A}只有1个元素，所以A∪{A}={A} 不为空，证明完成。

第二个命题两个集合A和B不可能同时A∈B并且B∈A

反证法，假设二者同时成立，这里的反例是{A, B}

由于A∈B 并且A∈{A,B} 而且B?B 所以B∪{A,B}={A}，同理A∪{A,B}={B}，这样，对于{A,B} 中的2个元素都与这个集合相交，不满足正则性。

3.2.3

万有分类公理=>存在万有集合

对所有元素P(x)为真

存在万有集合=>万有分类公理

对于万有集合每个对象x，都可以定义依赖于x的性质P(x)

3.3函数

为什么函数满足带入公理（3.1节中满足带入公理的是元素属于集合）

反证法，如果x和x’都属于A，假设f(x)!=f(x’)，由于P(x,f(x))和P(x’,f(x’))成立，所以P(x,f(x’))也成立，这样对x有2个y使P成立，与函数定义矛盾

例3.3.9为什么

为什么对于空集到任意集合X的函数是唯一的，因为根据定义，首先定义域和值域相等，其次，对于空集中的任意元素，到X的值是相等的（因为根本没有元素）

引理3.3.12 这个我看的英文版本是错误的，很明显，中文版本修正过来了

注3.3.23 别和1对1函数相混淆，啥意思？定义域和值域都只有1个元素的函数？

习题3.3

3.3.1

自反，证明f=f

首先定义域值域都相同，其次，对于定义域的每个x，有f(x)=f(x)

对称，证明f=g => g=f

f=g说明二者定义域X值域Y相同

?x∈X f(x)=g(x)

所以?x∈X g(x)=f(x)

所以g=f

本质上是等号的对称性

传递

同理根据等号的传递性可以证明

带入性质

f(x)=f~(x), g(y)=g~(y)

所以g(f(x))=g~(f~(x))

结论得证

3.3.2

x!=x’ => (f单射)

f(x)!=f(x’) => (g单射)

g(f(x))!=g(f(x’)) 得出g°f 单射

满射的证明同理

3.3.3

空函数都是单射

如果值域是空，则为满射

如果值域为空，则为双射

3.3.4

证明如果g°f=g°f~，则f=f~

反证法，假设不相等，则至少有某个定义域X中x，满足f(x)≠f~(x)，由于g是单射，所以g°f(x)≠g°f~(x)，矛盾

如果g不是单射，则上面证明过程中g°f(x)≠g°f~(x) 没法得出。

满射

反证法，假设g≠g~，则存在g(y)≠g~(y)，由于f满射，必然存在x满足g(f(x))≠g~(f(x))，矛盾。

如果不是满射，则上面证明过程中可能没有x满足f(x)=y，也就是对于f的值域满足g°f=g~°f，但是g与g~ 可能还有其它的定义域对应不同的值。

3.3.5 f必然是单射

用反证法，如果f不是单射则存在f(x)=f(x’)，由于g是函数，所以g(f(x))=g(f’(x))，矛盾。g也一定是单射，证明过程类似

g必定是满射

因为对于g°f 中的每个元素z，都存在x满足g(f(x))，所以必存在Y中的元素f(x)，也就是g是满射。

f不一定是满射，考虑这种情况：g(y)=z且g(y’)=z（非单射），则y’可以在f的定义域中没有对应值，只需要y有即可

3.3.6 主要根据函数的带入公理证明

由于f是双射，所以对于每个x，可以求出f(x)，而对于y=f(x)，定义域中恰好有一个f(x’)=f(x)，而这个x’必然等于x，我们记x=x′=f?1(f(x))

由于f是双射，所以对于每个y，可以找到X中的x满足x=f?1(y) 则f(f?1(y))=f(x)=y

容易验证f?1也是双射，所以也是可逆的，根据上面的结论得出(f?1)?1=f

3.3.7

双射的性质分单射和满射分别证明，比较容易。

对于(g°f)?1=f?1°g?1

考虑这个映射为X->Y->Z

由于为双射，对于Z中某个z，必定存在z=g(f(x))，这个x记作(g°f)?1(z)，记y=f(x)，则x=f?1(y)，而y=g?1(z)，所以

x=f?1(g?1(z))=f?1°g?1=(g°f)?1(z)

3.3.8

(a)首先等式两边定义域都为X，值域都为Z

由于X?Z，对于x∈X，τX?>Z(x):=x

对于x∈X，τX?>Y(x):=x，并且x∈Y，τY?>Z(x):=x，即

x∈X，τY?>Z(τX?>Y(x)):=x

，即τY?>Z°τX?>Y(x):=x，证明完成

(b)定义域都为A，值域都为B

对于x∈A，f°τA?>A(x)=f(τA?>A(x))=f(x)

满足函数相等的定义。剩余的证明类似

(c)根据习题3.3.6可以立即得出

(d)这样定义h：对于x∈X，h(x)=f(x)；对于x∈Y，h(x)=g(x)。证明h°τX∪Y=f

首先定义域都为X，值域都为Z，对于任意x∈X，等式两边函数得出的值相等。剩余的证明类似