转自ACdreamers （http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39026505）
在上一篇文章中 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变
换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质，大大减少了运算，但是这种做法是对复数系数的矩阵
加以处理，每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分系数都是浮点数，我们必须做复数及浮点数
的计算，计算量会比较大，而且浮点数的计算可能会导致误差增大。
今天，我将来介绍另一种计算多项式乘法的算法，叫做快速数论变换（NTT），在离散正交变换的理论中，已经证明在
复数域内，具有循环卷积特性的唯一变换是DFT，所以在复数域中不存在具有循环卷积性质的更简单的离散正交变换。
因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换。
回忆复数向量，其离散傅里叶变换公式如下
离散傅里叶逆变换公式为
今天的快速数论变换（NTT）是在
上进行的，在快速傅里叶变换（FFT）中，通过
次单位复根来运算的，即满
足
的
，而对于快速数论变换来说，则是可以将
看成是
的等价，这里
是模素数
的原根（由于是素数，那么原根一定存在）。即
所以综上，我们得到数论变换的公式如下
而数论变换的逆变换公式为
这样就把复数对应到一个整数，之后一切都是在
系统内考虑。
上述数论变换（NTT）公式中，要求
是素数且
必须是
的因子。由于
经常是2的方幂，所以可以构造形
如
的素数。通常来说可以选择
为费马素数，这样的变换叫做费马数数论变换。
这里我们选择
，
，这样得到模的原根值为
。
题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1028
分析：题目意思就是大数相乘，此处用快速数论变换（NTT）实现。
1 #include <iostream>
2 #include <string.h>
3 #include <stdio.h>
4
5 using namespace std;
6 typedef long long LL;
7
8 const int N = 1 << 18;
9 const int P = (479 << 21) + 1;
10 const int G = 3;
11 const int NUM = 20;
12
13 LL wn[NUM];
14 LL a[N], b[N];
15 char A[N], B[N];
16
17 LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)
18 {
19 LL ans = 1;
20 a %= m;
21 while(b)
22 {
23 if(b & 1)
24 {
25 ans = ans * a % m;
26 b--;
27 }
28 b >>= 1;
29 a = a * a % m;
30 }
31 return ans;
32 }
33
34 void GetWn()
35 {
36 for(int i=0; i<NUM; i++)
37 {
38 int t = 1 << i;
39 wn[i] = quick_mod(G, (P - 1) / t, P);
40 }
41 }
42
43 void Prepare(char A[], char B[], LL a[], LL b[], int &len)
44 {
45 len = 1;
46 int len_A = strlen(A);
47 int len_B = strlen(B);
48 while(len <= 2 * len_A || len <= 2 * len_B) len <<= 1;
49 for(int i=0; i<len_A; i++)
50 A[len - 1 - i] = A[len_A - 1 - i];
51 for(int i=0; i<len - len_A; i++)
52 A[i] = ‘0‘;
53 for(int i=0; i<len_B; i++)
54 B[len - 1 - i] = B[len_B - 1 - i];
55 for(int i=0; i<len - len_B; i++)
56 B[i] = ‘0‘;
57 for(int i=0; i<len; i++)
58 a[len - 1 - i] = A[i] - ‘0‘;
59 for(int i=0; i<len; i++)
60 b[len - 1 - i] = B[i] - ‘0‘;
61 }
62
63 void Rader(LL a[], int len)
64 {
65 int j = len >> 1;
66 for(int i=1; i<len-1; i++)
67 {
68 if(i < j) swap(a[i], a[j]);
69 int k = len >> 1;
70 while(j >= k)
71 {
72 j -= k;
73 k >>= 1;
74 }
75 if(j < k) j += k;
76 }
77 }
78
79 void NTT(LL a[], int len, int on)
80 {
81 Rader(a, len);
82 int id = 0;
83 for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)
84 {
85 id++;
86 for(int j = 0; j < len; j += h)
87 {
88 LL w = 1;
89 for(int k = j; k < j + h / 2; k++)
90 {
91 LL u = a[k] % P;
92 LL t = w * (a[k + h / 2] % P) % P;
93 a[k] = (u + t) % P;
94 a[k + h / 2] = ((u - t) % P + P) % P;
95 w = w * wn[id] % P;
96 }
97 }
98 }
99 if(on == -1)
100 {
101 for(int i = 1; i < len / 2; i++)
102 swap(a[i], a[len - i]);
103 LL Inv = quick_mod(len, P - 2, P);
104 for(int i = 0; i < len; i++)
105 a[i] = a[i] % P * Inv % P;
106 }
107 }
108
109 void Conv(LL a[], LL b[], int n)
110 {
111 NTT(a, n, 1);
112 NTT(b, n, 1);
113 for(int i = 0; i < n; i++)
114 a[i] = a[i] * b[i] % P;
115 NTT(a, n, -1);
116 }
117
118 void Transfer(LL a[], int n)
119 {
120 int t = 0;
121 for(int i = 0; i < n; i++)
122 {
123 a[i] += t;
124 if(a[i] > 9)
125 {
126 t = a[i] / 10;
127 a[i] %= 10;
128 }
129 else t = 0;
130 }
131 }
132
133 void Print(LL a[], int n)
134 {
135 bool flag = 1;
136 for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
137 {
138 if(a[i] != 0 && flag)
139 {
140 printf("%d", a[i]);
141 flag = 0;
142 }
143 else if(!flag)
144 printf("%d", a[i]);
145 }
146 puts("");
147 }
148
149 int main()
150 {
151 GetWn();
152 while(scanf("%s%s", A, B)!=EOF)
153 {
154 int len;
155 Prepare(A, B, a, b, len);
156 Conv(a, b, len);
157 Transfer(a, len);
158 Print(a, len);
159 }
160 return 0;
161 }