高等代数
一、行列式
1.1求三阶行列式：
计算方法：按图计算，实线为正号，虚线为负号
1.2求n阶行列式
1）计算排列逆序数
例1：求32154的逆序数：
答：0+1+2+0+1=4
例2：求n(n-1)...21的逆序数：
答：n(n-1)/2
2）计算公式：逆序数为奇数取负，为偶数取正。
注意是按行顺序取数：a1p1，a2p2，...，anpn
1.3行列式D的性质
1、D=DT
2、互换行列式2行（列），D改变正负号。
3、D中存在2行（列）完全相同，则D为0
4、D中存在元素全为0的某行（列），则D为0
5、D中存在两行（列）对应元素成比例，则D为0
6、行列式某一行（列）中所有元素同乘以k，等于k*D，即可以将公因子提到行列式外面
7、D的对某一行加上k*另一行，则D不变
证明：
1.4元素aij的代数余子式Aij
1、公式
Aij=（-1）i+j*Mij
其中Mij是D的余子式，它由行列式D去掉元素aij去掉第i行j列后剩下的（n-1）个元素保持原位置组成的n-1阶行列式。
2、求行列式：行列式的展开法则
D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin（i=1，2，...，n）
例：
二、矩阵
2.1运算律
加法：
1）交换律：A+B=B+A
2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
数乘：
1）结合律：（λμ）A=λ（μA）
2）分配率：λ（A+B）=λA+λB，（λ+μ）A=λA+μA
2.2矩阵乘法
2.2.1公式
2.2.2运算律
1）结合律：（AB）C=A（BC）
2）分配律：A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA
3）λ（AB）=（λA）B=A（λB）
4）AE=A
5）A的幂运算：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl
2.3转置矩阵AT的运算律
1）（AT）T=A
2）（A+B）T=AT+BT
3）（λA）T=λAT，λ为数
4）（AB）T=BTAT推广到（A1A2...Al）T=AlTAl-1T...AlT
2.4方阵
2.4.1行列式det（A）的运算律
1）|AT|=|A|
2）|λA|=λn|A|
3）|AB|=|AB|
2.4.2逆矩阵
1）公式
设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使
AB=BA=E
则称A是可逆的，B为A的逆矩阵。
2）A的伴随矩阵A*
其中，A*中的元素Aij是|A|中aij的代数余子式。
3）性质
1）AA*=A*A=|A|E
2）（A-1）-1=A
3）（λA）-1=1/λ A-1（λ！=0）
4）|A-1|=|A|-1
5）（AT）-1=（A-1）T
6）A可逆，B可逆，AB也可逆，且（AB）-1=B-1A-1
- 奇异矩阵：A为方阵，|A|=0；
- 非奇异矩阵：A为方阵，|A|！=0；
若矩阵A可逆，则|A|！=0
2.5矩阵的秩与初等变换
2.5.1秩
矩阵A的r阶子式D不等于0，而A的所有r+1阶子式全为0，则r称为矩阵A的秩，记为R（A）=r。其中零矩阵的秩为0。
2.5.2初等变换
2.5.2.1定义
1）对调某两行ri<-->rj
2）以数k！=0乘以某一行中所有元素kri
3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上ri+krj
等价矩阵：矩阵A初等变换得到的矩阵B。记为A~B
2.5.2.2性质
1）对A施行一次初等行变换相当于在Am*n的左边乘以初等矩阵Pm*m；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以初等矩阵Qn*n
2）可逆矩阵A可标识成有限个初等矩阵的乘积A=P1P2...Pl，由此可得
P-1（A|E）=（E|A-1）
A-1（A|B）=（E|A-1B）
例1：求A-1
答：利用公式P-1（A|E）=（E|A-1）
例2：求A-1B
答：利用公式A-1（A|B）=（E|A-1B）
三、方阵的特征值与特征向量
3.1定义
1）特征值与特征向量
设A是一个n阶方阵，λ是一个数，如果方程
或
存在非零解向量X，则称λ为A的一个特征值，对应的X为特征值相应的特征向量。
2）特征方程
这是n个未知数x，n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
即
上式是以λ为未知数的一元次方程，称为方阵A的特征方程：
=
=
因为特征方程的解就是A的特征值λ。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A有n个特征值。
3.2求解特征值和特征向量
例：
3.3性质
1）属于不同特征值的特征向量一定线性无关。
2）λ
3）相似：就是之前的等价矩阵
- 设A、B都是n阶方阵，若存在满秩矩阵P， 使得
则称A与B相似，记作A~B ，且满秩矩阵P称为将A变为B的相似变换矩阵。
- 相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。
- 若阶矩阵与对角矩阵
相似，则
即是A的n个特征值。
4）特征值与矩阵的阶数没有任何关系，可以取任意大的值。只有在主成分分析和因子分析里才强调最大特征值λ。
参考资料：
1、李宏伟，李星，李志明，《工程高等代数》，科学出版社
2、http://course.tjau.edu.cn/xianxingdaishu/jiao/5.htm