思维导图
典例剖析
例1【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足以下条件：
①对任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；②函数\(y=f(x+2)\)是偶函数；
③当\(x\in(0，2]\)时，\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\)，若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac{19}{2})\)，\(c=f(\cfrac{41}{4})\)，
则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是【 】
$A.b 分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，
那么由①可知，函数满足\(f(x+4)=f(x)\)，其周期是\(4\)；
由②可知\(y=f(x)\)的对称轴是\(x=2\)，可以表达为\(f(x+4)=f(-x)\)，
那么在结合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，则函数\(f(x)\)还是偶函数；
由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上单调递增，
有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。
\(a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)\)；
\(b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)\)；
\(c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表达式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函数}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)\)；
或\(c=f(\cfrac{41}{4})=f(2+\cfrac{1}{4})=f(2+\cfrac{1}{4}-4)=f(-\cfrac{7}{4})=f(\cfrac{7}{4})=f(1.75)\)
由\(\because f(x)\)在区间\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)， \(\therefore f(1)<f(1.5)<f(1.75)\)，
即\(a<b<c\)，故选\(D\)。
例2【2019届宝鸡理数质检Ⅲ第10题】定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足以下三个条件：
①对于任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+1)=f(x-1)\)；
②函数\(y=f(x+1)\)的图像关于\(y\)轴对称；
③对于任意的\(x_1，x_2\in [0，1]\)，都有\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\)；
则\(f(\cfrac{3}{2})\)、\(f(2)\)、\(f(3)\)的大小关系是【】
$A.f(\cfrac{3}{2})>f(2)>f(3)$
$B.f(3)>f(2)>f(\cfrac{3}{2})$
$C.f(\cfrac{3}{2})>f(3)>f(2)$
$D.f(3)>f(\cfrac{3}{2})>f(2)$
分析：本题目考查函数的各种性质的综合运用，其中主要涉及的是函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性；
由①可知，函数的周期为\(T=2\)，故可以简化其中的两项，\(f(2)=f(0)\)，\(f(3)=f(1)\)；
由②，通过图像的平移，可知函数\(y=f(x)\)的对称轴为直线\(x=1\)，即函数满足条件\(f(x)=f(2-x)\)，再赋值得到，\(f(\cfrac{3}{2})=f(2-\cfrac{3}{2})=f(\cfrac{1}{2})\)；
由③可知函数\(f(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递增，由于\(1>\cfrac{1}{2}>0\)，故\(f(1)>f(\cfrac{1}{2})>f(0)\)，即满足\(f(3)>f(\cfrac{3}{2})>f(2)\)，故选\(D\)。
例3【2018高考真题全国卷二卷文科第12题】已知函数\(f(x)\)是定义在\((-\infty，+\infty)\)上的奇函数，满足\(f(1-x)=f(1+x)\)，若\(f(1)=2\)，则\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=\)【\(\hspace{2em}\)】。
$A.-50$ $B.0$ $C.2$ $D.50$
分析：先将奇函数性质改写为，\(f(x)=-f(-x)①\)；
再将对称性\(f(1-x)=f(1+x)\)改写为\(f(2-x)=f(x)②\)，
由①②式可知，\(f(2-x)=-f(-x)\)，即\(f(2+x)=-f(x)\)，故\(T=2\times 2=4\)，
这样\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)，接下来就是重点求这些函数值；
由于函数是定义在\(R\)上的奇函数，故\(f(0)=0\)，则\(f(4)=f(4-4)=f(0)=0\)，
令\(x=0\)，则由\(f(2-x)=-f(-x)\)可得到\(f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0\)，即\(f(2)=0\)，
\(f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2\)，故\(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0\)，
即所求\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)\)
\(=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)
\(=f(1)+f(2)=2\)，故选\(C\)
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