目录
- 引言
- 聚集分析
- 记账方法
- 势能法
- 总结
引言
一个哈希表多大合适？
数据量为\(n?\)，如果哈希表无限大(>=\(n?\))，那么时间复杂度是\(O(1)?\)的，不过很显然，虽然节省了时间，但是浪费了空间．
实际上在我们不知道数据量的情况下，我们无法确定哈希表的大小，这时我们有个很美丽的数据结构->动态表
动态表的工作原理
- 建立一个表，初始化大小为1．
- 如果表的容量不够，那么就把大小扩大为原来的两倍，将原来表的内容复制一遍
- 把原来表的内存释放，再执行插入
- 容量会以1,2,4,8,16……(2的幂次)的增长
接下来我们来分析一下插入操作的复杂度：
- 当表里存在\(n\)个元素，最坏复杂度是\(O(n)?\)
- 那\(n\)个元素插入的最坏复杂度是\(O(n^2)?\)
这个复杂度分析肯定是错的，理由是并不是每一项都是最坏的\(O(n)?\)的复杂度
这时就要用到平摊分析了，我们先从最简单的聚集分析说起．
聚集分析
容易发现，\(n\)个元素的插入必然需要一个\(n?\)，但是只有当2的幂次的时候才会复制一遍
复杂度应该是:
\[
n+\sum_{j=0}^{\lfloor lg(n-1)\rfloor} 2^j
\]
右边这个最后也不会超过\(2n\)
证明
\[
\sum_{j=0}^{\lfloor log_2(n-1)\rfloor} 2^j<=2n
\]
最后总复杂度为\(3n\)，就是\(O(n)\)，平均下来每个操作就是\(O(1)\)．
用平摊分析来分析一个操作序列，证明每个操作的平均代价很小，尽管有个别操作可能代价很大．值得注意的是这个平均并没有用到概率论．它是最坏情况下的平均操作．就像上面这个例子，平均下来每步操作是常数级别的．\(\frac{O(n)}{n}?\)
综上所述：
- 平摊分析可以用来证明在一系列操作中，通过对所有操作求平均之后，即使其中单一的操作具有较大的代价，平均代价还是很小的
- 平摊分析与平均情况分析的不同之处在于它不牵涉到概率
- 平摊分析保证在最坏情况下，每个操作具有平均性能。
上文采用的方法是聚集分析，在聚集分析中，如证明对所有的n，由n个操作所构成的序列的总时间在最坏情况下为\(O(n)\)。因此，在最坏情况下，每个操作的平均代价（或称平摊分析）为\(\frac{O(n)}{n}\)。请注意这个平摊代价对每个操作都是成立的，即使当序列中存在几种类型的操作时也是一样的。
换句话说，就是对\(n\)条操作整体考虑其复杂度，而不是单独考虑一条指令的最坏复杂度，然后再平摊．
但是，并不是所有情况都能像上文一样轻易地求出平摊复杂度，要采用更精确的方法．
记账方法
算法导论上称为核算法
设想自己是一个财务会计，而你要做的就是给第\(i\)个操作“付钱”，设一个虚构的平摊代价，称之为\(\check C_i\)，而每个操作的实际代价为\(C_i\) ．
设每一步运算要花费1元．例如执行一次普通的插入操作要花费1元，由空间为2的表扩大为空间为4的表再复制需要2元．
如果还有剩余的钱，那就把钱存起来，用于支付以后的操作．
如果$ \check C_i?$不足以支付给这些操作，那就从银行里取出钱来付款．
存款余额要求不能是负数，当然所有的平摊代价减去操作代价的余额必须是非负数．
也就是相当于
\[
\sum_{i=1}^{n}C_i\leq \sum_{i=1}^{n}\check C_i
\]
以动态表为例：
- 初始设置\(\check C_i=3?\)，其中1元用于插入，2元用于将表翻倍的预存费用．
- 当表扩大两倍，就从存款里取出1美元来移动新项，还有1美元来移动旧项．
- 当长度为8的时候:
里面的数字就是余额，前四个余额为0，这时开始执行插入操作
花费1元用于插入，余额为2元，插入四个之后：
- 这时动态表需要扩大两倍，扩大两倍需要多少钱?没错，非常完美地，余额为8刚好可以支付复制操作，然后新插入的第九项也是花费1元进行插入，余额为2元．
通过这个计算，我只需要每个操作预设\(F_i=3\)，就可以足够支付了．
这样就可以得到总复杂度是 \(3n\)
当然进行平摊分析并不只有一个可行方案，若将平摊代价设置为4也是可以的，但是设置为2就不行了．
对记账方法进行总结:
在平摊分析的记帐方法中，决定每一个操作的均摊成本，对不同的操作赋予不同的费用，某些操作的费用比它们的实际代价或多或少。我们对一个操作的收费的数量称为平摊代价\(\check C_i?\)。当一个操作的平摊代价超过了它的实际代价$ C_i ?$时，两者的差值就被当作存款，并赋予数据结构中的一些特定对象，可以用来补偿那些平摊代价低于其实际代价的操作。这种方法与聚集分析不同的是，对后者，所有操作都具有相同的平摊代价，对前者，操作的平摊代价被分解为实际代价和余额。数据结构中存储的总存款等于总的平摊代价和总的实际代价之差。注意：总存款不能是负的。在开始阶段的存款，是为了在后面的操作序列中再支付。
势能法
好的势能方法，就像初恋一样无法忘怀．
我们由数据结构\(D_0\)开始讲起
- 操作\(i\)将\(D_{i-1}\)转化为\(D_i\)，操作\(i\)的操作代价还是$ C_i $
- 定义势能函数\(\phi\)，将数据结构映射为实数
- 这样初始的势能是\(\phi (D_0)=0\) ，对于所有\(i\)都有$\phi (D_0) \geq 0 $
- 平摊代价\(\check C_i=C_i+\phi(D_i)-\phi(D_{i-1})\)
- \(\Delta \phi_i=\phi(D_i)-\phi(D_{i-1})?\)是势能的改变量
势能法与记账法不同的是后者考虑的是平摊代价，前者考虑的是银行存款，也就是势能函数．
其中:
- 如果\(\Delta \phi_i \geq 0\) ，第\(i\)次操作存储了后面数据结构所需的代价
- 如果\(\Delta \phi _i \leq0\)， 第\(i\)次操作消耗了之前数据结果存储的代价
平摊代价正确性证明:
\[
\sum _{i=1}^{n}\check C_i = \sum_{i=1}^{n}(C_i+\phi(D_i)-\phi(D_{i-1}))
\]
\[
=\sum_{i=1}^{n}C_i+\phi(D_n)-\phi(D_0) \phi(D_0)=0 \phi(D_n) \geq 0
\]
\[
\geq \sum_{i=1}^{n}C_i
\]
动态表的势能法分析:
- 定义势能函数\(\phi(D_i)=2i-2^{\lceil logi \rceil}\)
- 可得\(\phi(D_0)=2^{log0}=0\)
- 因为\(\lceil lgi \rceil?\)向上取整，所以最大取到$ lgi +1?$，所以\(2^{\lceil lgi \rceil}?\)最大取到\(2i?\)，\(\phi(D_i)\ge0?\)
- 由$ \check C_i=C_i+\phi(D_i)-\phi(D_{i-1})$
- 实际代价\(C_i\)由上文可知分两种情况，一般情况下是\(1\)，而当\(i-1\)为\(2\)的幂时为\(i\)
\[
\phi(D_i)-\phi(D_{i-1})＝(2i-2^{\lceil lgi \rceil})-(2(i-1)-2^{\lceil lg(i-1)\rceil})
\]\[
=2-2^{\lceil lgi \rceil}+2^{\lceil lg(i-1) \rceil}
\] - 分情况分析:当\(i-1\)为\(2\)的幂次时:
\[
\check C_i=i+2-2^{\lceil lgi \rceil}+2^{\lceil lg(i-1) \rceil}
\]\[
= i+2-2(i-1)+i-1
=3
\] - 其他情况:
\[
\check C_i=1+2-2^{\lceil lgi \rceil}+2^{\lceil lg(i-1) \rceil}
\]\[
=1+2=3
\]
总结
- 平摊分析为数据结构的性能提供了一个简洁的抽象概念。
- 在不关注实时表现，只关注聚集行为时，平摊分析是一种很好的描述方式。
- 在有些情况中，不同的操作会有不同的平摊代价，它们的和仍然是实际代价的上限。
- 三种方法都是可用的，但都有各自的适用情况使得它们是简单准确的，不同的方法可能得到不同的上限结果。
原文地址：https://www.cnblogs.com/smallocean/p/12251446.html