[BJOI2015]树的同构

介于这道题没大佬发重心的写法，我就来凑个热闹

• 前置知识

一.树的重心

定义如下：删掉某节点\(i\)后，若剩余\(k\)个连通分量，那么定义\(d(i)\)为这些连通分量中节点数的最大值。所谓重心，就是使得\(d(i)\)最小的节点\(i\)。

定理：重心最多有两个

证明：比较感性的理解:一个重心代表一种最优均分的方案，最坏的情况就是左右为难，两个划分同样优

求法:

//size[x]为x子树大小
//maxl为最后min{d(i)}
inline void DFS(re int x,re int fa){
    size[x]=1;
    re int i,y,res=0;
    for(i=h[x];i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;if(y==fa)continue;
        DFS(y,x);
        size[x]+=size[y];
        res=max(res,size[y]);
    }
    res=max(res,n-size[x]);d[x]=res;
    maxl=min(maxl,res);
}

最后比较一下重心即可出来

//每次调用时
maxl=INF;DFS(1,0);
for(j=1;j<=n;++j){if(d[j]==maxl)rt[++tot]=j;}

二.树的同构

• 引入:\(POJ1635\)
• 概念：我们对一棵树的最小\(01\)欧拉序(\(0->\)入 \(1->\)出)称为其最小表示，判断两树是否同构可比较它们的最小表示
• 实现：
  • 法一：根据定义直接递归解决
  • 法二：对于更大的数据我们采用树\(Hash\)

  核心：

  inline int Solve(re int x,re int fa){
  re int i,y,res=2333;
  re vector<int > t;
  for(i=h[x];i;i=e[i].next){
      y=e[i].to;if(y==fa)continue;
      t.push_back(Solve(y,x));
  }
  sort(t.begin(),t.end());
  for(i=0;i<t.size();++i)res=((res*Mul)^t[i])%Mod;
  return res;
  }

对这道题：考虑对两棵同构的无根树，我们只需要比较其以树上固定点(即不会因为编号方式改变改变的点)为根的\(Hash\)值,重心则是一个很好的例子

步骤：先找每棵树重心（最多两个），以重心为根来比较

注意一些细节：

由于重心的编号顺序不一定因此我们每次都要存下所有重心为根\(Hash\)值

还是放一下代码：

inline void DFS(re int x,re int fa){
    size[x]=1;
    re int i,y,res=0;
    for(i=h[x];i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;if(y==fa)continue;
        DFS(y,x);
        size[x]+=size[y];
        res=max(res,size[y]);
    }
    res=max(res,n-size[x]);d[x]=res;
    maxl=min(maxl,res);
}
inline int Solve(re int x,re int fa){
    re int i,y,res=2333;
    re vector<int > t;
    for(i=h[x];i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;if(y==fa)continue;
        t.push_back(Solve(y,x));
    }
    sort(t.begin(),t.end());
    for(i=0;i<t.size();++i)res=((res*Mul)^t[i])%Mod;
    return res;
}
int main(void){
    re int i,j,x;
    scanf("%d",&m);
    memset(ans,INF,sizeof ans);
    for(i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d",&n);
        cnt=0;memset(h,0,sizeof h);tot=0;
        for(j=1;j<=n;++j){scanf("%d",&x);if(x){AddEdge(j,x);AddEdge(x,j);}}
        maxl=INF;DFS(1,0);
        for(j=1;j<=n;++j){if(d[j]==maxl)rt[++tot]=j;}
        for(j=1;j<=tot;++j)ans[i]=min(ans[i],Solve(rt[j],0));
        for(j=1;j<=i;++j)if(ans[j]==ans[i]){printf("%d\n",j);break;}
    }
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/66t6/p/11622928.html