树的重心及直径

树的重心

  1. 定义:树的重心也叫树的质心。找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后,生成的多棵树尽可能平衡。
  2. 性质
  • 树中所有点到某个点的距离和中,到重心的距离和是最小的,如果有两个距离和,他们的距离和一样。
  • 把两棵树通过一条边相连,新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
  • 一棵树添加或者删除一个节点,树的重心最多只移动一条边的位置。
  • 一棵树最多有两个重心,且相邻。
    3.find树的重心
  • 主要用DP思想
  • root为重心,f[x]记录以x为根节点其子树的最大节点数,sum[x]记录以x为根节点其子树的所有节点数
 void getroot(int now,int fa)
{
    f[now]=0; sum[now]=1;
    for (int i=head[now]; i!=-1; i=e[i].nx)
        if (e[i].v!=fa)
        {
            getroot(e[i].v,now);
            sum[now]+=sum[e[i].v];
            f[now]=max(f[now],sum[e[i].v]);
        }
    f[now]=max(f[now],n-sum[now]);//此时以now为根节点,now的父节点为它的一个子树,n-sum[now]为now父节点的节点总数
    if (f[now]<ans) {ans=f[now]; root=now;}
    if (f[now]==ans&&now<root) root=now;
}

4.一道模板题:poj1655

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=20005;
int T,n,tot,root,ans,head[N],f[N],sum[N];
 struct ss
{
    int v,nx;
}e[N*2];

 void add(int u,int v)
{
    tot++; e[tot].v=v; e[tot].nx=head[u]; head[u]=tot;
}
 void getroot(int now,int fa)
{
    f[now]=0; sum[now]=1;
    for (int i=head[now]; i!=-1; i=e[i].nx)
        if (e[i].v!=fa)
        {
            getroot(e[i].v,now);
            sum[now]+=sum[e[i].v];
            f[now]=max(f[now],sum[e[i].v]);
        }
    f[now]=max(f[now],n-sum[now]);
    if (f[now]<ans) {ans=f[now]; root=now;}
    if (f[now]==ans&&now<root) root=now;
}

 int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        memset(head,-1,sizeof(head)); tot=0;
        memset(f,0,sizeof(f)); memset(sum,0,sizeof(sum));
        int u,v;
        scanf("%d",&n);
        ans=0x3f3f3f3f;
        for (int i=1; i<n; i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v); add(v,u);
        }
        getroot(1,-1);
        printf("%d %d\n",root,f[root]);
    }
    return 0;
}

树的直径:树的最长简单路

  • 任取一点BFS,找到最远点x后,从x开始BFS在找到另一个最远点y,x到y的距离为树的直径
  • poj2631
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=20005;
int head[N],tot,d[N],q[N],ans,num;
bool flag[N];
 struct ss
{
    int v,w,nx;
}f[N];

 void add(int u,int v,int w)
{
    tot++; f[tot].v=v; f[tot].w=w; f[tot].nx=head[u]; head[u]=tot;
}
 int bfs(int s)
{
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    flag[s]=1; d[s]=0; q[1]=s; ans=-1;
    int l=0,r=1;
    while (l<r)
    {
        int x=q[++l];
        if (d[x]>ans) ans=d[x],num=x;
        for (int i=head[x]; i!=-1; i=f[i].nx)
            if (!flag[f[i].v])
            {
                flag[f[i].v]=true;
                d[f[i].v]=d[x]+f[i].w;
                q[++r]=f[i].v;
            }
    }
    return num;
}

 int main()
{
    int u,v,w; tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    while (scanf("%d%d%d",&u,&v,&w)!=EOF) add(u,v,w),add(v,u,w);
    bfs(bfs(1));
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/lyxzhz/p/11616972.html

时间: 2024-10-08 04:44:26

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树讲解(2)——树的输入,重心,直径

one.树的输入 1.输入每个节点父亲节点的编号 #include<vector> #include<stdio.h> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define N 100000 #define maxn 123456 using namespace std; int n,x,fa[N]; bool vis[N]

树的直径、树的重心与树的点分治

树的直径 树的直径(Diameter)是指树上的最长简单路. 直径的求法:两遍搜索 (BFS or DFS) 任选一点w为起点,对树进行搜索,找出离w最远的点u. 以u为起点,再进行搜索,找出离u最远的点v.则u到v的路径长度即为树的直径. 简单证明: 如果w在直径上,那么u一定是直径的一个端点.反证:若u不是端点,则从直径另一端点到w再到u的距离比直径更长,与假设矛盾. 如果w不在直径上,且w到其距最远点u的路径与直径一定有一交点c,那么由上一个证明可知,u是直径的一个端点. 如果w到最远点u

树的直径与树的重心

树的直径 树的直径是指树上的最长简单路. 直径的求法:两遍搜索 任选一点w为起点,对树进行搜索,找出离w最远的点u. 以u为起点,再进行搜索,找出离u最远的点v. 则u到v的路径长度即为树的直径. ---------------------------------------------------------------- 树的重心树的重心: 找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心. 删去重心后,生成的多棵树尽可能平衡. 树的重心可以通过简单的两次搜索求出,

POJ 1655 Balancing Act[树的重心/树形dp]

Balancing Act 时限:1000ms Description Consider a tree T with N (1 <= N <= 20,000) nodes numbered 1...N. Deleting any node from the tree yields a forest: a collection of one or more trees. Define the balance of a node to be the size of the largest tree

【poj1655】【poj3107】【求树的重心】

先来说一下怎样来求树的直径: 假设 s-t这条路径为树的直径,或者称为树上的最长路 现有结论,从任意一点u出发搜到的最远的点一定是s.t中的一点,然后在从这个最远点开始搜,就可以搜到另一个最长路的端点,即用两遍广搜就可以找出树的最长路 证明: 1 设u为s-t路径上的一点,结论显然成立,否则设搜到的最远点为T则 dis(u,T) >dis(u,s) 且 dis(u,T)>dis(u,t) 则最长路不是s-t了,与假设矛盾 2 设u不为s-t路径上的点 首先明确,假如u走到了s-t路径上的一点,

bzoj3510 首都 LCT 维护子树信息+树的重心

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3510 题解 首先每一个连通块的首都根据定义,显然就是直径. 然后考虑直径的几个性质: 定义:删去这个点以后剩下的连通块最大的最小的点为重心. 一棵树最多只能有两个相邻的直径: 一棵树的重心到一棵树中所有点的距离和最小.(这个也是题目的条件转化为重心的原因) 两棵树的并的重心在两棵树各自的重心的连线上. 一棵树添加或者删除一个节点,树的重心最多只移动一条边的位置. 有了这些性质,我们可以发现,

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