先证明下中国剩余定理
条件：
x%m_1=a_1
x%m_2=a_2
...
x%m_n=a_n
m_1,m_2,...,m_n两两互质
证明：
设M=m_1*m_2*m_3*...*m_n
M_i=M/m_i
因为gcd(M_i,m_i)=1，所以M_ix+m_iy=1
(t_i*M_i)%m_i=1 //由Ext_gcd(M_i,m_i,x,y)求出,t_i=x
方程组的解：x=a_1*t_1*M_1+...+a_n*t_n*M_n
题目：poj 1006
http://poj.org/problem?id=1006
题意：
现在有三条式子：
x%23=a1
x%28=a2
x%33=a3
现在求最小的整数(x-d)
限制：
0 <= d <= 365
C++ Code
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/*poj 1006 题意： 现在有三条式子： x%23=a1 x%28=a2 x%33=a3 现在求最小的整数(x-d) 限制： 0 <= d <= 365 思路： 中国剩余定理 条件： x%m_1=a_1 x%m_2=a_2 ... x%m_n=a_n m_1,m_2,...,m_n两两互质 证明： 设M=m_1*m_2*m_3*...*m_n M_i=M/m_i 因为gcd(M_i,m_i)=1，所以M_ix+m_iy=1 (t_i*M_i)%m_i=1 //由Ext_gcd(M_i,m_i,x,y)求出,t_i=x 方程组的解：x=a_1*t_1*M_1+...+a_n*t_n*M_n */ #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; #define LL __int64 LL Ext_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){ if(b==0) { x=1, y=0; return a; } LL ret=Ext_gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return ret; } LL CRT(LL a[],LL m[],int n){ LL M=1; for(int i=0;i<n;++i) M*=m[i]; LL ret=0; for(int i=0;i<n;++i){ LL x,y; LL tm=M/m[i]; Ext_gcd(tm,m[i],x,y); ret=(ret+tm*x*a[i])%M; } return (ret+M)%M; } int main(){ LL a[3],m[3],d; m[0]=23,m[1]=28,m[2]=33; LL M=m[0]*m[1]*m[2]; int cas=0; while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a[0],&a[1],&a[2],&d)){ if(a[0]==-1 && a[1]==-1 && a[2]==-1 && d==-1) break; LL ans; ans=CRT(a,m,3)-d; if(ans==0) ans=M; else ans=(ans+M)%M; printf("Case %d: the next triple peak occurs in %I64d days.\n",++cas,ans); } return 0; } |
在说下非互质情况下的中国剩余定理
证明如下：
由于不两两互质，所以只能两个两个解。
设通解为N
->N=m1*k1+r1,N=m2*k2+r2
->m1*k1+r1=m2*k2+r2
->k1*m1+(-k2*m2)=r2-r1
->设a=m1,b=m2,x=k1,y=(-k2),c=r2-r1
->ax+by=c 通过 d=Ext_gcd(a,b,x,y) 得 d,x
->最小整数解x=(x*(c/d)%(b/d)+(b/d))%(b/d)
->N=a*(x+n*(b/d))+r1
->N=(a*b/d)*n+(a*x+r1)
->令m3=a*b/d,r3=a*x+r1,k3=n
->N=m3*k3+r3 化成了一个新的式子，不断迭代然后出结果。
题目：hdu 3579
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3579
题意：
给出m_1,m_2,...m_n;a_1,a_2,...,a_n,非互质中国剩余定理。
C++ Code
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/*hdu 3579 题意： 给出m_1,m_2,...m_n;a_1,a_2,...,a_n,非互质中国剩余定理。 思路： 中国剩余定理 由于不两两互质，所以只能两个两个解。 设通解为N ->N=m1*k1+r1,N=m2*k2+r2 ->m1*k1+r1=m2*k2+r2 ->k1*m1+(-k2*m2)=r2-r1 ->设a=m1,b=m2,x=k1,y=(-k2),c=r2-r1 ->ax+by=c 通过 d=Ext_gcd(a,b,x,y) 得 d,x ->最小整数解x=(x*(c/d)%(b/d)+(b/d))%(b/d) ->N=a*(x+n*(b/d))+r1 ->N=(a*b/d)*n+(a*x+r1) ->令m3=a*b/d,r3=a*x+r1,k3=n ->N=m3*k3+r3 化成了一个新的式子，不断迭代然后出结果。 */ #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; #define LL __int64 LL Ext_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){ if(b==0){ x=1,y=0; return a; } LL ret=Ext_gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return ret; } int n; LL a[100005],m[100005]; LL CRT(){ LL M=m[0]; LL ret=a[0]; for(int i=1;i<n;++i){ LL x,y,d; d=__gcd(M,m[i]); if((a[i]-ret)%d) return -1; //注意无解时的返回值 Ext_gcd(M,m[i],x,y); x=(a[i]-ret)/d*x%(m[i]/d); ret+=x*M; M=M/d*m[i]; ret%=M; } ret=(ret+M)%M; return ret==0?M:ret; //模除类问题要注意答案能不能为0 } int main(){ int T; int cas=0; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;++i) scanf("%I64d",&m[i]); for(int i=0;i<n;++i) scanf("%I64d",&a[i]); printf("Case %d: %I64d\n",++cas,CRT()); } return 0; } |