经典算法学习之回溯法

回溯法的应用范围：只要能把待求解的问题分成不太多的步骤，每个步骤又只有不太多的选择就可以考虑使用回溯法。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

回溯法将问题的候选解按照某一顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解，若当前候选解符合要求，且还未达到求解的规模，则继续扩展当前候

选解的规模，如果候选解已经满足了所有要求，并且也达到了问题的规模，那么该候选解就是问题的一个解。

例、在9（3*3）的方格内填入1到N（N>=10）内的某9个数字，每个方格填入一个数字，使方格内所有相邻的两个数的和为质数，试求出满足要求的所有填法。

伪代码：

 1 int m=0;       //已经填入m个数
 2 bool ok=true;//ture表示已经填入的前m个数都符合要求
 3 int n=8;      //填入最后一个数字的下标
 4 do
 5 {
 6     if(ok)
 7     {
 8         if(m==n)
 9         {
10             print();//输出这个解
11             change();//调整最后一个值，找下一个解
12         }
13         else
14         {
15             extend();//往下一个空的方格中填入数字
16         }
17     }
18     else
19     {
20         change();//调整最近填入的一个值
21     }
22     ok=检查前m个数是否都符合要求；
23 }while(m>=0)//由于是求解所有解，所以必须回溯到根的所有情况才算结束

程序如下：

  1 #include<iostream>
  2 #include<math.h>
  3 using namespace std;
  4 const int N=12;
  5 int a[10];//记录符合条件的数
  6 bool b[N+1];//记录某个数是否已经被用过true,被用过，false,没被用过
  7 int checkmatrix[][3]={{-1},{0,-1},{1,-1},
  8                       {0,-1},{3,1,-1},{4,2,-1},
  9                       {3,-1},{6,4,-1},{7,5,-1}};//checkmatirx用来验证相邻的两个数的和是否为指数用的，-1是人为添加的截止符号
 10 int m;//已经符合条件的个数
 11 void print(int * a)
 12 {
 13     for(int i=0;i<3;i++)
 14     {
 15         for(int j=0;j<3;j++)
 16         {
 17             cout<<a[i+j*3]<<" ";
 18         }
 19         cout<<endl;
 20     }
 21 }
 22 bool isprime(int m)
 23 {
 24     if(1==m)
 25     {
 26         return false;
 27     }
 28     if(2==m)
 29     {
 30         return true;
 31     }
 32     int n=sqrt((float)m);
 33     for(int i=2;i<=n;i++)
 34     {
 35         if(m%i==0)
 36         {
 37             return false;
 38         }
 39     }
 40     return true;
 41 }
 42 //返回从start开始的第一个没被用过的数
 43 int select(int start)
 44 {
 45     for(int i=start;i<=N;i++)
 46     {
 47         if(b[i]==false)
 48         {
 49             return i;
 50         }
 51     }
 52     return 0;//如果全都被使用过了就返回0
 53 }
 54 int extend(int m)
 55 {
 56     a[++m]=select(1);
 57     b[a[m]]=true;
 58     return m;
 59 }
 60 int change(int m)
 61 {
 62     int pos;
 63     while(m>=0 && (pos=select(a[m]+1))==0)
 64     {
 65         b[a[m--]]=false;
 66     }
 67     if(m<0)
 68     {
 69         return -1;
 70     }
 71     else
 72     {
 73         b[a[m]]=false;
 74         a[m]=pos;
 75         b[a[m]]=true;
 76     }
 77     return m;
 78 }
 79 bool check(int m)
 80 {
 81     int j;
 82     if(m<0)
 83     {
 84         return false;
 85     }
 86     int k=m;
 87     while(k>=0)
 88     {
 89         for(int i=0;(j=checkmatrix[k][i])>=0;i++)
 90         {
 91             if(!isprime(a[k]+j))
 92             {
 93                 return false;
 94             }
 95         }
 96         k--;
 97     }
 98
 99     return true;
100 }
101 int main()
102 {
103     //先全都初始化为未使用过
104     for(int i=0;i<N+1;i++)
105     {
106         b[i]=false;
107     }
108     m=0;
109     a[m]=1;
110     b[a[m]]=true;
111     bool ok=true;//前m个数都满足条件的话ok为true否则为false
112     do
113     {
114         if(ok)
115         {
116             if(8==m)
117             {
118                 print(a);
119                 //调整
120                 m=change(m);
121
122             }
123             else
124             {
125                 //扩展
126                 m=extend(m);
127             }
128         }
129         else
130         {
131             //调整
132             m=change(m);
133         }
134         //检查前m个数是否都满足条件
135         ok=check(m);
136     }while(m>=0);
137
138     return 0;
139 }

如果将题目改成找出一种填法，则不需要回溯到根，而是找到一个解就可以结束了
伪代码如下：

 1 int m=0;
 2 bool ok=true;
 3 int n=8;
 4 do
 5 {
 6     if(ok)
 7     {
 8          extend()//扩展解
 9     }
10     else
11     {
12          change();//调整最近填入的数字
13     }
14     ok=检查填入的m个数的合理性；
15 }while((m!=n||!ok)&&m!=0)
16 if(m==n)
17 {
18     print();//输出解
19 }
20 else
21 {
22     无解；
23 }