2014-05-15 22:02 by Jeff Li
前言
系列文章：[传送门]
马上快要期末考试了，为了学点什么。就准备这系列的博客，记录复习的成果。
正文-计数
概率
概率论研究随机事件。它源于赌徒的研究。即使是今天，概率论也常用于赌博。随机事件的结果是否只凭运气呢？高明的赌徒发现了赌博中的规律。尽管我无法预知事件的具体结果，但我可以了解每种结果出现的可能性。这是概率论的核心。
“概率”到底是什么？这在数学上还有争议。“频率派”认为概率是重复尝试多次，某种结果出现的次数在尝试的总次数的比例。“贝叶斯派”认为概率是主观信念的强弱。幸好，这些争议并不影响我们在日常生活中使用“概率”哲学。天气预报的降雨概率为80%时，很多人会因此带上伞。报纸会分析一场球赛某支球队的赢球概率，如果最终赢球概率为10%的球队取胜，那么球迷会感到惊讶。这结果是小概率事件。
要知道某个结果的概率并不容易。上面分析球队的赢球概率，要考虑许多因素。投一个骰子，有6种可能的结果。物理情况会影响结果的概率，比如撒子是否均匀，比如掷撒子的人是否有技巧偏向。如果骰子是均匀的，且没有作弊，那么每种结果出现的概率相同。为了能从数学上给结果分配一个概率，我们往往会加上一些假设。这些假设有理想化的成份，但并不至于偏离现实。比如，我们说掷撒子，撒子均匀，掷的人也没有什么特殊手法，并由此推断每种结果出现的可能相同。那么，其中任意一个结果出现的概率为1/6。
基本计数原理
计数的基本原理叙述如下:
如果一个实验可以分为m个步骤，每个步骤分别有n1,n2,...,nm种可能，那么总共会下面
有种可能的结果。
n1×n2×...×nm
基本技术原理的核心是“分步”。对于简单的一个步骤的事情，我们能比较直接的分辨结果的总数。
有序的重复抽样
从数学上来说，如果进行m次有放回的抽样，每次抽样都有n种可能。如果最终结果有序，那么将有nm种可能。
考虑下面的问题:
- 一个骰子连续掷2次，所有可能的结果有多少个？
模拟例子:(python系列文章)
import itertools a = [1, 2, 3, 4, 5, 6] outcomes = list(itertools.product(a, a)) print(outcomes) print(len(outcomes))
#itertools 相关文档
会有下面的结果:
[(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)] 36
#所以出现的概率P=1/36。
有序的非重复抽样
有序的非重复抽样又叫做排列(permutation)。从数学上来说，从n个样品中挑选m个，放入m个位置，将有n×(n?1)×...×(n?m+1)种可能。如果我们使用阶乘(factorial)运算符，那么结果可以表示为
n!(n?m)!
#其中，n!=1×2×...×(n?1)×n。
考虑下面的问题:
我们用下面的程序来模拟队长组合的状况:
import itertools a = ["Tom", "Lee", "King", "James"] outcomes = list(itertools.permutations(a, 2)) print(outcomes) print(len(outcomes))
# 相关文档
结果为
[(‘Tom‘, ‘Lee‘), (‘Tom‘, ‘King‘), (‘Tom‘, ‘James‘), (‘Lee‘, ‘Tom‘), (‘Lee‘, ‘King‘), (‘Lee‘, ‘James‘), (‘King‘, ‘Tom‘), (‘King‘, ‘Lee‘), (‘King‘, ‘James‘), (‘James‘, ‘Tom‘), (‘James‘, ‘Lee‘), (‘James‘, ‘King‘)]
#共有12种可能的结果。
无序的非重复抽样
m个样品有m!种排列方式。如果是从n个样品中抽取m个作为组合，所有的这m!种排序方式应该看做一种。因此，有n!(n?m)!m!种可能结果。我们可以用下面的方式记录组合:
(nm)=n!(n?m)!m!
考虑下面的问题:
- 从4个人中抽出2个人，有多少种可能？
下面来模拟:
import itertools a = ["Tom", "Lee", "King", "James"] outcomes = list(itertools.combinations(a, 2)) print(outcomes) print(len(outcomes))
#相关文档
有以下结果
[(‘Tom‘, ‘Lee‘), (‘Tom‘, ‘King‘), (‘Tom‘, ‘James‘), (‘Lee‘, ‘King‘), (‘Lee‘, ‘James‘), (‘King‘, ‘James‘)]
#可以看到，从4个中挑选2个，有6种可能的组合。这是排列的一半。
无序的重复抽样
概括来讲，从n个样品中，无序的重复抽样m次，有
(n+m?1m?1)
阶乘与组合
我们在上面多次使用了阶乘运算，在Python中，它可以使用math.factorial实现:
import math print(math.factorial(5))
总结
基本计数原理
排列
组合
（生活离不开寻找数学，你说呢？）
感谢及资源共享
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知识来源： 概率论等书 和 python api