Clever Y
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Description
Little Y finds there is a very interesting formula in mathematics:
XY mod Z = K
Given X, Y,
Z, we all know how to figure out K fast. However, given X,Z,K, could you figure out
Y fast?
Input
Input data consists of no more than 20 test cases. For each test case, there would be only one line containing 3 integersX,Z,
K (0 ≤ X, Z, K ≤ 109).
Input file ends with 3 zeros separated by spaces.
Output
For each test case output one line. Write "No Solution" (without quotes) if you cannot find a feasibleY (0 ≤Y <
Z). Otherwise output the minimum Y you find.
Sample Input
5 58 33 2 4 3 0 0 0
Sample Output
9 No Solution
Source
POJ Monthly--2007.07.08, Guo, Huayang
题意：
X^Y%Z=K，计算等式成立的最小的Y值。
解题思路：
扩展BSGS算法，普通BSGS算法要求 A^x≡B( mod C )的C值为质数，因为等式有解的要求是GCD(A,C)|B，只有当C为质数，才一定成立。而此题并没有说C一定为质数。所以就要用到EXT-BSGS算法，看这个算法也是理解了好久。网上参考讲解这个算法的不多，找资料都找好久。自己总结下这个算法。
首先必须要会普通的BSGS，普通BSGS算法讲解：点击打开链接
我们知道，普通的BSGS算法可以处理C为质数的情况，也就是保证GCD(A,C)|B，所以我们只要保证出现这种情况即可。怎么才能出现这种情况？我们可以让GCD(A,C)=1，这样就能保证它一定能被B整除。
如何能让(A，C)=1？我们可以一直让C，除以(A,C)。当C把所有的A,C的公约数除尽之后，(A,C)一定等于1。注意，再求(A,C)时，C值是变换后的C值，即C[i]=C[i] / ( A,C[i-1] )。
为了保证等式成立，我们必须用等式的每部分都除以这个值。我们一直循环C/(A,C),B/(A,C)，而A^x的值不是A/(A,C)这点要注意。除的时候我们考虑的是从A^x次方中取出一个A除以(A,C),这时：A^x=A/(A,C)*A^(x-1)。
我们的循环操作截止到(A,C)=1,所以在经过cnt次的操作后A^x=D*A^(x-cnt)，因为我们总共取出cnt个A。我们每次循环还要更新D值，就是每次A/(A,C)的值乘以上次循环的值。即循环的是：D=D*A/(A,C)。所以我们这里D≠A^cnt。这点要注意一下。
我们经过上述操作之后等式变成 D*A^(x′)≡B′ ( mod C′ )，x′=x-cnt。此时 只要我们求解出这个等式的解x′,就能求出x的值，x=x′+cnt。因为A*D≡B*D( mod C*D )等价于A≡B( mod C )。所以我们求得的解是等价的。
而且在这里面我们(A,C)=1，这时我们就可以直接利用普通BSGS求解。
等价为 A^(i*M)*D*A^j≡B( mod C )。我们查找合适的j值就可以了。
最后我们还有一个重要的的问题没解决，我们看一个例子：49^x≡0( mod 343)，很显然x=0，但是如果根据我们上述方法得出的结果就会是2。这里答案就显然变得不对，这里我们会发现答案如果本身小于cnt，再加上cnt的话就会变成一个不正确的值，所以我们可以尝试枚举一下所有小于cnt的x值，看下x值是否存在。如果存在的话直接返回x值即可，不用再进行BSGS步骤了。因为C每次最小消去的因子是2，所以cnt最大是log(C)，我们枚举[0，log(C)]值就可以了。
AC代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1000010;
typedef long long LL;
bool hash[MAXN];
LL p[MAXN];
LL var[MAXN];
void insert_x(LL n,LL v)
{
int x=v%MAXN;
while(hash[x]&&var[x]!=v){
x++;
if(x==MAXN)
x=0;
}
if(!hash[x]){
p[x]=n;
var[x]=v;
hash[x]=true;
}
}
LL find_x(LL v)
{
int x=v%MAXN;
while(hash[x]&&var[x]!=v){
x++;
if(x==MAXN)
x=0;
}
if(hash[x]) return p[x];
return -1;
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0){
x=1;y=0;
return a;
}
LL r=exgcd(b,a%b,x,y);
LL t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
LL BSGS(LL A,LL B,LL C)
{
LL n=1;
for(int i=0;i<110;i++){//枚举所有小于log(C)的x值
if(n==B%C) return i;
n=n*A%C;
}
int cnt=0;
LL res=1;
LL divisor=gcd(A,C);
while(divisor!=1){ //消去(A,C)的所有公约数
if(B%divisor){
return -1;
}
C/=divisor;
B/=divisor;
res=res*A/divisor%C;
divisor=gcd(A,C);
cnt++;
}
LL M=ceil(sqrt(C*1.0));
LL temp=1;
for(int i=0;i<M;i++){
insert_x(i,temp);
temp=temp*A%C;
}
for(int i=0;i<M;i++){
LL x,y;
LL r=exgcd(res,C,x,y);
x=x*B;
x=(x%C+C)%C;
LL coordinate=find_x(x);
if(coordinate!=-1){
return (i*M+coordinate+cnt);
}
res=res*temp%C;
}
return -1;
}
int main()
{
LL X,Z,K;
while(scanf("%lld%lld%lld",&X,&Z,&K)!=EOF){
if(!X&&!Z&&!K)break;
memset(hash,false,sizeof(hash));
memset(var,-1,sizeof(var));
memset(p,-1,sizeof(p));
LL coordinate=BSGS(X,K,Z);
if(coordinate==-1) printf("No Solution\n");
else printf("%lld\n",coordinate);
}
return 0;
}
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