Dividing Numbers

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Given an integer N (1≤N≤1013) and K (1≤K≤100) co-prime numbers P1，P2，...，Pk, which are less than 1000. Please tell me how many integers in range [1,N] satisfied that none of a number in P1，P2，...，Pk can divide it.

Input

The first line contains two integers N (1≤N≤1013) and K (1≤K≤100).

The second line contains K numbers P1，P2，...，Pk. It is guaranteed that 2≤Pi≤1000.

It is guaranteed that the given K numbers are pairwise co-prime.

Output

Output an integer representing the number of integers in range [1,N] satisfied the condition.

Sample input and output

20 3
2 3 5

6

50 2
15 8

41

Source

2015 UESTC ACM Summer Training Team Selection (4)

结题报告：

注意到题目中的条件，两两互质，这是关键，即gcd( a , b ) = 1 , a, b ∈ array[p]

那么解决这道题的关键就在于重复数字的问题，例如 N = 105 ,  P = 3 , 5 , 那么15 ， 30 ， 45 .... 这几个数我们就必须保证只能删掉一次

我们令 F（ i , j ) 表示范围[ 1 , i ] ， 不能被P[0] , P[1] ..... P[j] 整除的数的个数

转移方程:

F ( i , j ) = F( i , j - 1 ) - F( i / p[j] , j - 1 )

转移方程的解释：

我们仅仅考虑P【j】这个数，能够被整数它的肯定是(1，2，3.... i / P[j] ) ，这些数很可能在以后（往前转移）经被筛过了，所以我们需要减去

反正过来想：

【1，N】之间不能被P【0】 -> P【j】 整数的数的数量 = 【1，N】之间不能被P【0】 -> P【j-1】 整除的数 －　【１，Ｎ】之间Ｐ【ｊ】的因子数目（同时保证这些因子数目不是前面Ｐ【０】　－> P【j-1】 任何一个数的因子）

接下来的问题就是搜索了

因为N的范围很大，所以我们在小范围内使用记忆化搜索，大范围上用dfs即可

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#define pb push_back
#define input_fast std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0)
#define local freopen("in.txt","r",stdin)

using namespace std;
const int maxn = 5e4;

long long n;
int k , p[105];
long long f[maxn][105];

long long dfs(long long x,int y)
{
   if (y == -1) return x;
   if (x < maxn)
    {
        if (f[x][y] != -1) return f[x][y];
        return f[x][y] = dfs(x,y-1) - dfs(x/p[y],y-1);
    }
   else
    return dfs(x,y-1) - dfs(x/p[y],y-1);
}

int main(int argc,char *argv[])
{
  scanf("%lld%d",&n,&k);
  memset(f,-1,sizeof(f));
  for(int i = 0 ; i < k ; ++ i) scanf("%d",&p[i]);
  sort(p,p+k);
  printf("%lld\n",dfs(n,k-1));
  return 0;
}