最小生成树：prim算法和kruskal算法

一个连通图的生成树是图的极小连通子图。它包含图中的所有顶点，并且只含尽可能少的边。若砍去它的一条边，就会使生成树变成非连通图；若给它增加一条边，则会形成一条回路。

最小生成树有如下性质：

1.最小生成树非唯一，可能有多个最小生成树；

2.最小生成树的边的权值之和总唯一，而且是最小的；

3.最小生成树的边数为顶点数减1。

构造最小生成树可以有多种算法。其中多数算法利用了最小生成树的下列一种简称为MST的性质：

假设N=(V，{E})是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u, v)是一条具有最小权值（代价）的边，其中u∈U，v∈V-U，则必存在一棵包含边(u, v)的最小生成树。

基于该性质的最小生成树算法主要有：prim算法和kruskal算法，它们都是基于贪心算法的策略。

源代码如下：

#include "stdio.h"

typedef struct                    //图的邻接矩阵存储结构体定义
{
	int vexs[10];
	int arcs[10][10];
	int n, e;
}MGraph;

bool visit[10];
int pre[10];

void create(MGraph &G);                 //图的创建
void prim(MGraph G, int u);             //prim算法
void kruskal(MGraph G, int *pre);       //kruskal算法

int main()
{
	int i;
	MGraph G;
	create(G);
	printf("最小生成树之prim算法路径：\n");
	prim(G, G.vexs[0]);
	for(i =0; i < G.n; ++i)
		pre[i] = i;
	printf("最小生成树之kruskal算法路径：\n");
	kruskal(G, pre);

	return 0;
}

void create(MGraph &G)
{
	int i, j;
	printf("请输入顶点数和边数：\n");
	scanf("%d %d", &G.n, &G.e);
	printf("请输入顶点编号：\n");
	for(i = 0; i < G.n; ++i)
		scanf("%d", &G.vexs[i]);
	printf("顶点编号分别为：");
	for(i = 0; i < G.n; ++i)
		printf("%d ", G.vexs[i]);
	printf("\n请输入邻接矩阵：\n");  //两个非连接点之间距离此处用9表示
	for(i = 0; i < G.n; ++i)
		for(j = 0; j < G.n; ++j)
		{
			printf("arcs[%d][%d] = ", i, j);
			scanf("%d", &G.arcs[i][j]);
		}
	printf("该图的邻接矩阵：\n");
	for(i = 0; i < G.n; ++i)
	{
		for(j = 0; j < G.n; ++j)
			printf("%d ", G.arcs[i][j]);
		printf("\n");
	}
}
//prim算法
void prim(MGraph G, int u)
{
	int i, j, t, a, b, k = 1;
	int min, low[10];
	for(i = 0; i < G.n; ++i)
		visit[i] = false;
	visit[0] = true;
	low[0] = 0;
	min = 99;
	for(t = 1; t < G.n; ++t)
	{
		min = 99;
		for(i = 0; (i < k) && (i < G.n); ++i)
		{
			for(j = 0; j < G.n; ++j)
				if((min > G.arcs[low[i]][j]) && (low[i] != j) && (!visit[j]))
				{
					min = G.arcs[low[i]][j];
					a = low[i];
					b = j;
				}
		}
		visit[b] = true;
		low[k++] = b;
		printf("(%d, %d) = %d\n", a, b, min);
	}
}
//并查集算法
int find(int x, int *pre)
{
	int r = x;
	while(pre[r] != r)
		r = pre[r];

	return r;
}

bool join(int x, int y, int *pre)
{
	int fx = find(x, pre);
	int fy = find(y, pre);
	if(fx != fy)
		return true;
	else
		return false;
}
//kruskal算法
void kruskal(MGraph G, int *pre)
{
	int i, j, k, a, b, min;
	for(k = 1; k < G.n; ++k)
	{
		min = 99;
		for(i = 0; i < G.n; ++i)
		{
			for(j = 0; j < G.n; ++j)
				if((min > G.arcs[i][j]) && (i != j) && join(i, j, pre))
				{
					min = G.arcs[i][j];
					a = i;
					b = j;
				}
		}
		printf("(%d, %d) = %d\n", a, b, min);
		a = find(a, pre);
		b = find(b, pre);
		if(a < b)
			pre[a] = b;
		else
			pre[b] = a;
	}
}

示例：（读者可自行验证）