一、什么是最长公共子序列
什么是最长公共子序列呢？举个简单的例子吧，一个数列S，若分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。
举例如下，如：有两个随机数列，1 2 3 4 5 6 和 3 4 5 8 9，则它们的最长公共子序列便是：3 4 5。
最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。
二、解决方案
<1> 枚举法
这种方法是最简单，也是最容易想到的，当然时间复杂度也是龟速的，我们可以分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列个数有27个 ，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2N个，每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次需要O(N)的时间，总共也就是O(N*2N)，可以看出，时间复杂度为指数级，恐怖的令人窒息。
<2> 动态规划
最长公共子序列的结构有如下表示：
设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, zk>，则：
1> 若 xm=yn，则 zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；
2> 若 xm≠yn且 zk≠xm ，则 Z是 Xm-1和 Y的最长公共子序列；
3> 若 xm≠yn且 zk≠yn ，则 Z是 X和 Yn-1的最长公共子序列；
现有两个序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度，递推方程为：
代码：
//只能打印一个最长公共子序列
#include <iostream>
using namespace std;
const int X = 100, Y = 100; //串的最大长度
char result[X+1]; //用于保存结果
int count=0; //用于保存公共最长公共子串的个数
/*功能：计算最优值
*参数：
* x:字符串x
* y:字符串y
* b:标志数组
* xlen:字符串x的长度
* ylen:字符串y的长度
*返回值：最长公共子序列的长度
*
*/
int Lcs_Length(string x, string y, int b[][Y+1],int xlen,int ylen)
{
int i = 0;
int j = 0;
int c[X+1][Y+1];
for (i = 0; i<=xlen; i++)
{
c[i][0]=0;
}
for (i = 0; i <= ylen; i++ )
{
c[0][i]=0;
}
for (i = 1; i <= xlen; i++)
{
for (j = 1; j <= ylen; j++)
{
if (x[i - 1] == y[j - 1])
{
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
b[i][j] = 1;
}
else if (c[i-1][j] > c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = 2;
}
else if(c[i-1][j] <= c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = 3;
}
}
}
return c[xlen][ylen];
}
void Display_Lcs(int i, int j, string x, int b[][Y+1],int current_Len)
{
if (i ==0 || j==0)
{
return;
}
if(b[i][j]== 1)
{
current_Len--;
result[current_Len]=x[i- 1];
Display_Lcs(i-1, j-1, x, b, current_Len);
}
else if(b[i][j] == 2)
{
Display_Lcs(i-1, j, x, b, current_Len);
}
else if(b[i][j]==3)
{
Display_Lcs(i, j-1, x, b, current_Len);
}
else {
Display_Lcs(i-1,j,x,b, current_Len);
}
}
int main(int argc, char* argv[])
{
string x = "ABCBDAB";
string y = "BDCABA";
int xlen = x.length();
int ylen = y.length();
int b[X + 1][Y + 1];
int lcs_max_len = Lcs_Length( x, y, b, xlen,ylen );
cout << lcs_max_len << endl;
Display_Lcs( xlen, ylen, x, b, lcs_max_len );
//打印结果如下所示
for(int i = 0; i < lcs_max_len; i++)
{
cout << result[i];
}
cout << endl;
return 0;
}
运行结果如下：
4 BDAB
由于有时并不是只有一个最长公共子序列，所以，对上面的代码进行改进，增加一个数组保存结果等....代码如下所示。
//求取所有的最长公共子序列
#include <iostream>
using namespace std;
const int X = 100, Y = 100; //串的最大长度
char result[X+1]; //用于保存结果
int cnt = 0; //用于保存公共最长公共子串的个数
/*功能：计算最优值
*参数：
* x:字符串x
* y:字符串y
* b:标志数组
* xlen:字符串x的长度
* ylen:字符串y的长度
*返回值：最长公共子序列的长度
*
*/
int Lcs_Length(string x, string y, int b[][Y+1],int xlen,int ylen)
{
int i = 0;
int j = 0;
int c[X+1][Y+1];
for (i = 0; i<=xlen; i++)
{
c[i][0]=0;
}
for (i = 0; i <= ylen; i++ )
{
c[0][i]=0;
}
for (i = 1; i <= xlen; i++)
{
for (j = 1; j <= ylen; j++)
{
if (x[i - 1] == y[j - 1])
{
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
b[i][j] = 1;
}
else if (c[i-1][j] > c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = 2;
}
else if(c[i-1][j] < c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = 3;
}
else
{
c[i][j] = c[i][j-1]; //或者c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j] = 4;
}
}
}
return c[xlen][ylen];
}
/*功能：计算最长公共子序列
*参数：
* xlen:字符串x的长度
* ylen:字符串y的长度
* x :字符串x
* b:标志数组
* current_len:当前长度
* lcs_max_len:最长公共子序列长度
*
*/
void Display_Lcs(int i, int j, string x, int b[][Y+1],int current_len,int lcs_max_len)
{
if (i ==0 || j==0)
{
for(int s=0; s < lcs_max_len; s++)
{
cout << result[s];
}
cout<<endl;
cnt++;
return;
}
if(b[i][j]== 1)
{
current_len--;
result[current_len]=x[i- 1];
Display_Lcs(i-1, j-1, x, b,current_len,lcs_max_len);
}
else if(b[i][j] == 2)
{
Display_Lcs(i-1, j, x, b,current_len,lcs_max_len);
}
else if(b[i][j]==3)
{
Display_Lcs(i, j-1, x, b,current_len,lcs_max_len);
}
else
{
Display_Lcs(i,j-1,x,b,current_len,lcs_max_len);
Display_Lcs(i-1,j,x,b,current_len,lcs_max_len);
}
}
int main(int argc, char* argv[])
{
string x = "ABCBDAB";
string y = "BDCABA";
int xlen = x.length();
int ylen = y.length();
int b[X + 1][Y + 1];
int lcs_max_len = Lcs_Length( x, y, b, xlen,ylen );
cout << lcs_max_len << endl;
Display_Lcs( xlen, ylen, x, b, lcs_max_len, lcs_max_len );
cout << "共有：" << cnt << "种";
return 0;
}
运行结果如下：
4 BDAB BCAB BCBA 共有： 3 种