极限证明题

证明：如果序列$x_n(n=1,2,\cdots)$收敛，则算术平均值的序列

$$\xi_n=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)(n=1,2,\cdots)$$

也收敛，且$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}x_n.$

证    设$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,$

则存在任意给定的$\varepsilon>0,$存在$N>0$,使得

当$n>N$时，

$$|x_n-a|<\varepsilon$$,

即  $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$.

从而当$n>N$时，

$$\xi_n=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N+(n-N)(a+\varepsilon)}{n}$$,

因此$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\xi_n\le a+\varepsilon$.

由$\varepsilon>0$的任意性，知      $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\xi_n\le a$,

同理可证       $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\ge a$.

即  $\lim\limits_{n\to\infty}\xi_n=a.$