1. 算法背景介绍
分类树（决策树）是一种十分常用的分类方法。他是一种监管学习，所谓监管学习说白了很简单，就是给定一堆样本，每个样本都有一组属性和一个类别，这些类别是事先确定的，那么通过学习得到一个分类器，这个分类器能够对新出现的对象给出正确的分类。这样的机器学习就被称之为监督学习。分类本质上就是一个map的过程。C4.5分类树就是决策树算法中最流行的一种。下面给出一个数据集作为算法例子的基础，比如有这么一个数据集，如下：
这个Golf数据集就是我们这篇博客讨论的基础。我们分类的目的就是根据某一天的天气状态，如天气，温度，湿度，是否刮风，来判断这一天是否适合打高尔夫球。
2. 算法描述
确切的说，C4.5不是单个的算法，而是一套算法，C4.5有许多的功能，每个功能都对应着一个算法，这些功能组合起来就形成了一套算法就是C4.5。C4.5分类树构造算法框架如下图：
Figure 1
该算法的框架表述还是比较清晰的，从根节点开始不断得分治，递归，生长，直至得到最后的结果。根节点代表整个训练样本集,通过在每个节点对某个属性的测试验证,算法递归得将数据集分成更小的数据集.某一节点对应的子树对应着原数据集中满足某一属性测试的部分数据集.这个递归过程一直进行下去,直到某一节点对应的子树对应的数据集都属于同一个类为止.Golf数据集对应得到的决策树如下:
Figure 1给出了C4.5分类树构造算法的框架，一些细节并没有阐述。下面就来具体分析一下里面可能面对的问题：
分类树中的测试是怎样的？
分类树中的测试是针对某一个样本属性进行的测试。我们知道，样本的属性有两种，一种是离散变量，一种是连续变量。对于离散变量，这很简单，离散变量对应着多个值，每个值就对应着测试的一个分支，测试就是验证样本对应的属性值对应哪个分支。这样数据集就会被分成几个小组。对于连续变量，所有连续变量的测试分支都是2条，其测试分支分别对应着
，
对应着分支阈值，后面我们来讨论这个分支阈值如何选择。
如何选择测试？
分类树中每个节点对应着测试，但是这些测试是如何来选择呢？C4.5根据信息论标准来选择测试，比如增益（在信息论中，熵对应着某一分布的信息量，其值同时也对应着要完全无损表示该分布所需要的最小的比特数，本质上熵对应着不确定性，可能的变化的丰富程度。所谓增益，就是指在应用了某一测试之后，其对应的可能性丰富程度下降，不确定性减小，这个减小的幅度就是增益，其实质上对应着分类带来的好处）或者增益比（这个指标实际上就等于增益/熵，之所以采用这个指标是为了克服采用增益作为衡量标准的缺点，采用增益作为衡量标准会导致分类树倾向于优先选择那些具有比较多的分支的测试，这种倾向需要被抑制）。算法在进行Tree-Growth时，总是“贪婪得”选择那些信息论标准最高的那些测试。
如何选择连续变量的阈值？
在《分类树中的测试是怎样的？》中提到连续变量的分支的阈值点为
，这阈值如何确定呢？很简单，把需要处理的样本（对应根节点）或样本子集（对应子树）按照连续变量的大小从小到大进行排序，假设该属性对应的不同的属性值一共有N个，那么总共有N-1个可能的候选分割阈值点，每个候选的分割阈值点的值为上述排序后的属性值链表中两两前后连续元素的中点，那么我们的任务就是从这个N-1个候选分割阈值点中选出一个，使得前面提到的信息论标准最大。举个例子，对于Golf数据集，我们来处理温度属性，来选择合适的阈值。首先按照温度大小对对应样本进行排序如下
那么可以看到有13个可能的候选阈值点，比如middle[64,65], middle[65,68]….,middle[83,85]。那么最优的阈值该选多少呢？应该是middle[71,72]，如上图中红线所示。为什么呢？如下计算：
通过上述计算方式，0.939是最大的，因此测试的增益是最小的。（测试的增益和测试后的熵是成反比的，这个从后面的公式可以很清楚的看到）。根据上面的描述，我们需要对每个候选分割阈值进行增益或熵的计算才能得到最优的阈值，我们需要算N-1次增益或熵（对应温度这个变量而言就是13次计算）。能否有所改进呢？少算几次，加快速度。答案是可以该进，如下图
该图中的绿线代表可能的最优分割阈值点，根据信息论知识，像middle[72,75]（红线所示）这个分割点，72,75属于同一个类，这样的分割点是不可能有信息增益的。（把同一个类分成了不同的类，这样的阈值点显然不会有信息增益，因为这样的分类没能帮上忙，减少可能性）
Tree-Growth如何终止?
前面提到Tree-Growth实际上是一个递归过程,那么这个递归什么时候到达终止条件退出递归呢?有两种方式,第一种方式是如果某一节点的分支所覆盖的样本都属于同一类的时候,那么递归就可以终止,该分支就会产生一个叶子节点.还有一种方式就是，如果某一分支覆盖的样本的个数如果小于一个阈值，那么也可产生叶子节点，从而终止Tree-Growth。
如何确定叶子节点的类？
前面提到Tree-Growth终止的方式有2种，对于第一种方式，叶子节点覆盖的样本都属于同一类，那么这种情况下叶子节点的类自然不必多言。对于第二种方式，叶子节点覆盖的样本未必属于同一类，直接一点的方法就是，该叶子节点所覆盖的样本哪个类占大多数，那么该叶子节点的类别就是那个占大多数的类。
前面《如何选择测试？》提到测试的选择是依据信息论标准，信息论标准有两种，一种是增益，一种是增益比。首先来看看增益Gain的计算。假设随机变量x，它可能属于c个类中的任何一个，通过样本的统计，它分别属于各个类的概率分别为
，那么要想把某一样本进行归类所需要的熵就为
公式1
对于Golf数据集，{PlayGolf？}的熵根据上述公式，就是
上述公式的值为0.940。它的信息论含义就是我要想把PlayGolf？这个信息传递给别人话，平均来讲我至少需要0.940个bit来传递这个信息。C4.5的目标就是经过分类来减小这个熵。那么我们来依次考虑各个属性测试，通过某一属性测试我们将样本分成了几个子集，这使得样本逐渐变得有序，那么熵肯定变小了。这个熵的减小量就是我们选择属性测试的依据。还是以Golf数据集为例，Outlook的增益Gain(Outlook),其公式如下：
它的实质是把数据集D根据某一属性测试分成v个子集，这使得数据集D变得有序，使得数据集D的熵变小了。分组后的熵其实就是各个子集的熵的权重和。通过计算我们得到Gain(Outlook)=0.940-0.694=0.246，Gain(Windy)=0.940-0.892=0.048….
可以得到第一个测试属性是Outlook。需要注意的是，属性测试是从数据集中包含的所有属性组成的候选属性中选择出来的。对于所在节点到根节点的路径上所包含的属性（我们称之为继承属性），其实根据公式很容易得到他们的熵增益是0，因此这些继承属性完全不必考虑，可以从候选属性中剔除这些属性。
到这里似乎一切都很完美，增益这个指标非常得make sense，但是其实增益这个指标有一个缺点。我们来考虑Golf数据集中的Day这个属性（我们假设它是一个真属性，实际上很可能大家不会把他当做属性），Day有14个不同的值，那么Day的属性测试节点就会有14个分支，很显然每个分支其实都覆盖了一个“纯”数据集（所谓“纯”，指的就是所覆盖的数据集都属于同一个类），那么其熵增益显然就是最大的，那么Day就默认得作为第一个属性。之所以出现这样的情况，是因为增益这个指标天然得偏向于选择那些分支比较多的属性，也就是那些具有的值比较多的那些属性。这种偏向性使我们希望克服的，我们希望公正地评价所有的属性。因此又一个指标被提出来了Gain Ratio-增益比。某一属性A的增益比计算公式如下：
Gain(A)就是前面计算的增益，而SplitInfo(A)计算如下：
公式2
与公式1进行比较，你会发现，SplitInfo(A)实际上就是属性A的熵，只不过这个熵有所不同，他不是样本最终分类{PlayGolf？}的熵，而是对应属性分组{A?}的熵，它反映的是属性A本身的信息量。通过计算我们很容易得到GainRatio(Outlook)=0.246/1.577=0.156。增益比实际上就是对增益进行了归一化，这样就避免了指标偏向分支多的属性的倾向。
通过上述方法得到了决策树，这一切看起来都很完美，但是这还不够。决策树能够帮助我们对新出现的样本进行分类，但还有一些问题它不能很好得解决。比如我们想知道对于最终的分类，哪个属性的贡献更大？能否用一种比较简洁的规则来区分样本属于哪个类？等等。为了解决这些问题，基于产生的决策树，各位大牛们又提出了一些新的方法。
3. C4.5的功能
3.1 决策树的剪枝
决策树为什么要剪枝？原因就是避免决策树“过拟合”样本。前面的算法生成的决策树非常的详细而庞大，每个属性都被详细地加以考虑，决策树的树叶节点所覆盖的训练样本都是“纯”的。因此用这个决策树来对训练样本进行分类的话，你会发现对于训练样本而言，这个树表现堪称完美，它可以100%完美正确得对训练样本集中的样本进行分类（因为决策树本身就是100%完美拟合训练样本的产物）。但是，这会带来一个问题，如果训练样本中包含了一些错误，按照前面的算法，这些错误也会100%一点不留得被决策树学习了，这就是“过拟合”。C4.5的缔造者昆兰教授很早就发现了这个问题，他作过一个试验，在某一个数据集中，过拟合的决策树的错误率比一个经过简化了的决策树的错误率要高。那么现在的问题就来了，如何在原生的过拟合决策树的基础上，通过剪枝生成一个简化了的决策树？
第一种方法，也是最简单的方法，称之为基于误判的剪枝。这个思路很直接，完全的决策树不是过度拟合么，我再搞一个测试数据集来纠正它。对于完全决策树中的每一个非叶子节点的子树，我们尝试着把它替换成一个叶子节点，该叶子节点的类别我们用子树所覆盖训练样本中存在最多的那个类来代替，这样就产生了一个简化决策树，然后比较这两个决策树在测试数据集中的表现，如果简化决策树在测试数据集中的错误比较少，并且该子树里面没有包含另外一个具有类似特性的子树（所谓类似的特性，指的就是把子树替换成叶子节点后，其测试数据集误判率降低的特性），那么该子树就可以替换成叶子节点。该算法以bottom-up的方式遍历所有的子树，直至没有任何子树可以替换使得测试数据集的表现得以改进时，算法就可以终止。
第一种方法很直接，但是需要一个额外的测试数据集，能不能不要这个额外的数据集呢？为了解决这个问题，于是就提出了悲观剪枝。该方法剪枝的依据是训练样本集中的样本误判率。我们知道一颗分类树的每个节点都覆盖了一个样本集，根据算法这些被覆盖的样本集往往都有一定的误判率，因为如果节点覆盖的样本集的个数小于一定的阈值，那么这个节点就会变成叶子节点，所以叶子节点会有一定的误判率。而每个节点都会包含至少一个的叶子节点，所以每个节点也都会有一定的误判率。悲观剪枝就是递归得估算每个内部节点所覆盖样本节点的误判率。剪枝后该内部节点会变成一个叶子节点，该叶子节点的类别为原内部节点的最优叶子节点所决定。然后比较剪枝前后该节点的错误率来决定是否进行剪枝。该方法和前面提到的第一种方法思路是一致的，不同之处在于如何估计剪枝前分类树内部节点的错误率。
悲观剪枝的思路非常巧妙。把一颗子树（具有多个叶子节点）的分类用一个叶子节点来替代的话，误判率肯定是上升的（这是很显然的，同样的样本子集，如果用子树分类可以分成多个类，而用单颗叶子节点来分的话只能分成一个类，多个类肯定要准确一些）。于是我们需要把子树的误判计算加上一个经验性的惩罚因子。对于一颗叶子节点，它覆盖了N个样本，其中有E个错误，那么该叶子节点的错误率为（E+0.5）/N。这个0.5就是惩罚因子，那么一颗子树，它有L个叶子节点，那么该子树的误判率估计为
。这样的话，我们可以看到一颗子树虽然具有多个子节点，但由于加上了惩罚因子，所以子树的误判率计算未必占到便宜。剪枝后内部节点变成了叶子节点，其误判个数J也需要加上一个惩罚因子，变成J+0.5。那么子树是否可以被剪枝就取决于剪枝后的错误J+0.5在
的标准误差内。
对于样本的误差率e，我们可以根据经验把它估计成各种各样的分布模型，比如是二项式分布，比如是正态分布。我们以二项式分布为例，啰嗦几句来分析一下。什么是二项分布，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，如果每次试验中中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是
其概率期望值为np，方差为np(1-p)。比如投骰子就是典型的二项分布，投骰子10次，掷得4点的次数就服从n=10，p=1/6的二项分布。
如果二项分布中n=1时，也就是只统计一次，事件A只可能有两种取值1或0，那么事件A的值所代表的分布就是伯努利分布。B(1,p)~f(1;1,p)就是伯努利分布，伯努利分布式是二项分布的一种特殊形式。比如投硬币，正面值为1，负面值为0，那么硬币为正面的概率为p=0.5，该硬币值就服从概率为0.5的伯努利分布。
当n趋于无限大时，二项式分布就正态分布，如下图。
那么一棵树错误分类一个样本值为1，正确分类一个样本值为0，该树错误分类的概率（误判率）为e（e为分布的固有属性,可以通过
统计出来），那么树的误判次数就是伯努利分布，我们可以估计出该树的误判次数均值和方差：
把子树替换成叶子节点后，该叶子的误判次数也是一个伯努利分布，其概率误判率e为(E+0.5)/N，因此叶子节点的误判次数均值为
那么，如果子树可以被叶子节点替代，它必须满足下面的条件：
这个条件就是剪枝的标准。根据置信区间，我们设定一定的显著性因子，我们可以估算出误判次数的上下界。
误判次数也可以被估计成一个正态分布，有兴趣大家可以推导一下。
3.2 连续值属性的改进
相对于那些离散值属性，分类树算法倾向于选择那些连续值属性，因为连续值属性会有更多的分支，熵增益也最大。算法需要克服这种倾向。还记得前面讲得如何克服分类树算法倾向于离散值较多的离散属性么？对了，我们利用增益率来克服这种倾向。增益率也可以用来克服连续值属性倾向。增益率作为选择属性的依据克服连续值属性倾向，这是没有问题的。但是如果利用增益率来选择连续值属性的分界点，会导致一些副作用。分界点将样本分成两个部分，这两个部分的样本个数之比也会影响增益率。根据增益率公式，我们可以发现，当分界点能够把样本分成数量相等的两个子集时（我们称此时的分界点为等分分界点），增益率的抑制会被最大化，因此等分分界点被过分抑制了。子集样本个数能够影响分界点，显然不合理。因此在决定分界点是还是采用增益这个指标，而选择属性的时候才使用增益率这个指标。这个改进能够很好得抑制连续值属性的倾向。当然还有其它方法也可以抑制这种倾向，比如MDL，有兴趣的读者可以自己阅读相关文章。
3.3 处理缺失属性
如果有些训练样本或者待分类样本缺失了一些属性值，那么该如何处理？要解决这个问题，需要考虑3个问题：i)当开始决定选择哪个属性用来进行分支时，如果有些训练样本缺失了某些属性值时该怎么办？ii)一个属性已被选择，那么在决定分支的时候如果有些样本缺失了该属性该如何处理？iii)当决策树已经生成，但待分类的样本缺失了某些属性，这些属性该如何处理？针对这三个问题，昆兰提出了一系列解决的思路和方法。
对于问题i),计算属性a的增益或者增益率时，如果有些样本没有属性a，那么可以有这么几种处理方式：(I)忽略这些缺失属性a的样本。(C)给缺失属性a的样本赋予属性a一个均值或者最常用的的值。(R)计算增益或者增益率时根据缺失属性样本个数所占的比率对增益/增益率进行相应的“打折”。(S)根据其他未知的属性想办法把这些样本缺失的属性补全。
对于问题ii)，当属性a已经被选择，该对样本进行分支的时候，如果有些样本缺失了属性a,那么：(I)忽略这些样本。(C)把这些样本的属性a赋予一个均值或者最常出现的值，然后再对他们进行处理。(R)把这些属性缺失样本，按照具有属性a的样本被划分成的子集样本个数的相对比率，分配到各个子集中去。至于哪些缺失的样本被划分到子集1，哪些被划分到子集2，这个没有一定的准则，可以随机而动。(A)把属性缺失样本分配给所有的子集，也就是说每个子集都有这些属性缺失样本。(U)单独为属性缺失的样本划分一个分支子集。(S)对于缺失属性a的样本，尝试着根据其他属性给他分配一个属性a的值，然后继续处理将其划分到相应的子集。
对于问题iii)，对于一个缺失属性a的待分类样本，有这么几种选择：(U)如果有单独的确实分支，依据此分支。(c)把待分类的样本的属性a值分配一个最常出现的a的属性值，然后进行分支预测。(S)根据其他属性为该待分类样本填充一个属性a值，然后进行分支处理。(F)在决策树中属性a节点的分支上，遍历属性a节点的所有分支，探索可能所有的分类结果，然后把这些分类结果结合起来一起考虑，按照概率决定一个分类。(H)待分类样本在到达属性a节点时就终止分类，然后根据此时a节点所覆盖的叶子节点类别状况为其分配一个发生概率最高的类。
3.4 推理规则
C4.5决策树能够根据决策树生成一系列规则集,我们可以把一颗决策树看成一系列规则的组合。一个规则对应着从根节点到叶子节点的路径，该规则的条件是路径上的条件，结果是叶子节点的类别。C4.5首先根据决策树的每个叶子节点生成一个规则集，对于规则集中的每条规则，算法利用“爬山”搜索来尝试是否有条件可以移除，由于移除一个条件和剪枝一个内部节点本质上是一样的，因此前面提到的悲观剪枝算法也被用在这里进行规则简化。MDL准则在这里也可以用来衡量对规则进行编码的信息量和对潜在的规则进行排序。简化后的规则数目要远远小于决策树的叶子节点数。根据简化后的规则集是无法重构原来的决策树的。规则集相比决策树而言更具有可操作性，因此在很多情况下我们需要从决策树中推理出规则集。C4.5有个缺点就是如果数据集增大了一点，那么学习时间会有一个迅速地增长。
4 可用的C4.5软件包
C4.5决策树算法如此
C4.5的原始实现可以从昆兰教授的个人网页http://www.rulequest.com/Personal/中得到，但这是c语言版本，而且这个版本不是免费的，你必须遵循他的商业许可证要求。开源的MLC++和Weka都有对C4.5的实现，你可以参考。另外也有一些商业版本的实现可供使用，比如ODBCMINE。
C4.5是一种早期的机器学习算法，在工业界也被广泛使用。
参考文献
[1]http://zh.wikipedia.org/zh-cn/二项式分布
[2]http://wenku.baidu.com/view/382a9c2558fb770bf78a5560.html
[3]The top ten algorithms in data mining