POJ 2976 二分求平均值最大

题意： n个物品有重量w价值v，取出k个使得单位重量价值最大。

思路：

　　二分，单位重量价值a = sigama(v) / sigama(w)，令左<=右，转移方程有 sigama(v - a*w) >= 0。----1

　　对于二分查找单位重量价值a，排序求出最大k个物品使得sigama(v - a*w)最大。

　　此时：

　　　　若条件1满足，则显然存在更好的方案，因为至少还有该方案。

　　　　若条件1不满足，则不存在更好的方案：

　　　　　　反证：现有 sigama(v1 - a1*w1) < 0 即 a1 > sigama(v1)/sigama(w1) 记为方案1，若存在方案2使得sigama(v2)/sigama(w2) = a2 > a1，则有sigama(v2)/sigama(w2) = a2 > a1 > sigama(v1)/sigama(w1) 与计算sigama(v - a*w) >= 0时取最大方案矛盾，故成立

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <utility>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

double a[1005], b[1005], w[1005];
int n, k;

int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &k) != EOF && n)
    {
        k = n-k;
        for(int i = 0; i < n; i ++)
            scanf("%lf", &a[i]);
        for(int i = 0; i < n; i ++)
            scanf("%lf", &b[i]);
        double l = 0, r = 1;
        while(r-l > 1e-4)
        {
            double mid = (l+r)/2;
            for(int i = 0; i < n; i ++)
                w[i] = a[i]-mid*b[i];
            sort(w, w+n);
            double max = 0;
            for(int i = n-1; i >= n-k; i --)
                max += w[i];
            if(max >= 0)
                l = mid;
            else
                r = mid;
        }
        printf("%.f\n", l*100);
    }
    return 0;
}

其实这题若单纯想很容易想到二分法，不过细想反而可能想歪掉。

对于最优方案v、w、a，有 a>a‘，有sigama(v-a *w) == 0 且 永远保证 sigama(v - a‘ *w) >= 0，不过并不能保证sigama(v - a‘ *w)最大。

也就是说 sigama(v - a‘ *w) >= 0条件和最优方案是等价的。