声明：

1，本篇为个人对《2012.李航.统计学习方法.pdf》的学习总结，不得用作商用，欢迎转载，但请注明出处（即：本帖地址）。

2，由于本人在学习初始时有很多数学知识都已忘记，所以为了弄懂其中的内容查阅了很多资料，所以里面应该会有引用其他帖子的小部分内容，如果原作者看到可以私信我，我会将您的帖子的地址付到下面。

3，如果有内容错误或不准确欢迎大家指正。

4，如果能帮到你，那真是太好了。

在开始讲解之前，我要先给看这篇文章的你道个歉，因为《2012.李航.统计学习方法.pdf》中该节的推导部分还有些内容没有理解透彻，不过我会把我理解的全部写出来，而没理解的也会尽可能的把现有的想法汇总，欢迎你和我一起思考，如果你知道为什么的话，还请在评论区留言，对此，不胜感激。

当然，若你对EM算法都一知半解，那还是去看一下我总结的“EM算法 - 1 - 介绍”吧，不然你连我问的疑问都看不懂。

OK，mission start！

单高斯分布模型(GSM)

首先，为了更好的说明高斯混合模型，这里先简单介绍下GSM，GSM看名字就知道，模型中只有一个高斯分布，只不过在处理问题时我们会遇到：只知道结果，但不知道能实现该结果的最佳高斯分布，即：不知道高斯分布的参数。

这个问题解决起来很容易，只要用极大似然估计就可以了。

从几何上讲，单高斯分布模型在二维空间应该近似于椭圆，在三维空间上近似于椭球。遗憾的是在很多分类问题中，属于同一类别的样本点并不满足“椭圆”分布的特性。这就引入了高斯混合模型。

高斯混合模型GMM

什么是GMM

GMM简单的说就是从几个GSM中生成出来的。即，如果GSM的概率密度函数用

，θ = (μ,σ²)

表示的话，那GMM就是：

其中，a_k是系数，a_k >=0，

称为第k个分模型，其中θ_k= (μ_k,σ_k²)。

为什么这么重视GMM，而不使用其他的分布？

实际上不管是什么分布，只K取得足够大，这个分布模型就会变得足够复杂，就可以用来逼近任意连续的概率密度分布。只是因为高斯函数具有良好的计算性能，所GMM被广泛地应用。

GMM的EM算法的推导

假设观测数据y1, y2,..., yN由GMM生成

其中，θ = (a1,a2, ..., ak; θ1, θ2, ..., θk)。

我们的目标是用EM算法估计GMM的参数θ。

1，明确隐变量，写出完全数据的对数似然函数

可以设想观测数据y_j，j = 1, 2,..., N，是这样产生的：首先依概率ak选择第k个高斯分布分模型φ(y |θk)；然后依第k个分模型的概率分布φ(y |θk)生成观测数据y_j。

这时观测数据yj是已知的，观测数据yj来自的第k个分模型是未知的(k =1, 2, .., K)，于是这个就是隐变量，我们用r_jk表示，其定义如下：

PS：隐变量r_jk是0-1随机变量。

有了观测数据y_j及未观测数据r_jk，那么完全数据是

(y_j,r_j1, r_j2, ..., r_jk), j = 1, 2, ..., N

于是，可以写出完全数据的似然函数

式中

（a式）

那么，完全数据的对数似然函数就是

         2，EM算法的E步：确定Q函数

是在当前模型参数下第j个观测数据来自第k个分模型的概率，称为分模型k对观测数据yi的响应度。

最后将

代入9.28式，即得

         3，确定EM算法的M步

这一步就简单了，Q函数已经知道，即9.29式，那对Q函数中的θ对应的各参数求偏导，并令其为0就可以了，其结果如下：

         4，重复以上计算，知道对数似然函数不再有明显的变化为止。

GMM的EM算法的整理

         输入：

观测数据y1, y2,..., yn，高斯混合模型；

         输出：

高斯混合模型参数；

         解：

例子（三硬币模型）

假设有3枚硬币，分别记作A, B,C。这些硬币正面出现的概率分别是π，p和q。

进行如下硬币实验：

先投掷硬币A，根据其结果选B或C，正面选硬币B，反面选C。

然后投掷选出的硬币，若投掷的结果是正面则记做1，反之记做0。

独立的重复n此实验(这里，n=10)，观测结果如下：

1,1,0,1,0,0,1,0,1,1

假设只能观测到投掷硬币的结果，不能观测投掷硬币的过程。问：如何估计三硬币正面出现的概率，即，三硬币模型的参数。

         解：

                   1，我们先整理下思路。

三硬币模型可以写作

其中，θ = (π, p, q)；y是观察到的硬币最终的正反面；Z是硬币A的投掷结果，是没有未观察到的，是隐变量。

然后将观测数据表示为Y =(Y1, Y2, ..., Yn)^T，未观测数据表示为Z = (Z1, Z2, ..., Zn)^T，则观测数据的似然函数为

即

然后要求是求模型参数θ的极大似然估计。

那么我们就利用上面的算法。

先选取参数的初值，记做θ⁽⁰⁾= (π⁽⁰⁾, p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)，然后不停的迭代下面的E步和M步计算参数的估计值，直至收敛。

假设第i次迭代后参数的估计值为θ⁽ⁱ⁾= (π⁽ⁱ⁾, p⁽ⁱ⁾, q⁽ⁱ⁾)，则EM算法的第i+1次迭代如下。

E步：计算在模型参数θ⁽ⁱ⁾下观测数据yj来自投掷硬币B的概率

M步：计算模型参数的新估计值

                   2，开始进行数字计算

假设模型参数的初值为

π⁽⁰⁾ = 0.5, p⁽⁰⁾ = 0.5, q⁽⁰⁾ = 0.5

第一次迭代，由9.5式，对yj = 1与yj = 0均有μ_j⁽¹⁾ = 0.5

利用迭代公式9.6 ~ 9.8，得到

π⁽¹⁾ = 0.5, p⁽¹⁾ = 0.6, q⁽¹⁾ = 0.6

第二次迭代，由9.5式得μ_j⁽²⁾ = 0.5

利用迭代公式9.6 ~9.8，得到

π⁽²⁾ = 0.5, p⁽²⁾ = 0.6, q⁽²⁾ = 0.6

第二次迭代时参数就不再变化了，因此迭代停止，于是模型参数θ的极大似然估计就的出来了，即

π = 0.5, p =0.6, q = 0.6

参考资料：

http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2624882.html