并查集简要分析

并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、MakeSet(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、FindSet(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。

判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：

利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。

并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩

寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？

答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时 按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

int father[MAX];
int rank[MAX];

void MakeSet(int x)
{
	father[x] = x;
	rank[x] = 0;
}

int FindSet(int x)//递归实现路径压缩查找
	if (x!=father[x])
	{
		//在回溯的时候将祖先结点作为其他结点的父节点
		father[x] = FindSet(father[x]);
	}
	return father[x];
}

int FindSet(int x)//非递归实现路径压缩
{
	int root = x;
	while(root!=father[root])//找到根结点
		root = father[root];
	int tem = x;
	while(tem != x)//进行路径压缩,把根结点的值赋值给x的父节点
	{
		int tempFather = father[tem];
		father[tem] = root;
		tem = tempFather;
	}
	return root;
}

int union(int x,int y)
{
	x = FindSet(x);
	y = FindSet(y);
	if (x == y)
	{
		return 0;
	}
	//按秩合并,x的秩大说明高度比较高,更接近与根结点.
	//所以将x作为y的根结点
	if (rank[x]>rank[y])
	{
		father[y] = x;
	}
	else
	{
		if (rank[x] == rank[y])
		{
			rank[y] ++;
		}
		father[x] = y;
	}
	return 1;//返回1说明x和y不属于一个集合
}

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