【Distinct Subsequences】cpp

题目：

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

代码：

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
            const int len_s = s.size();
            const int len_t = t.size();
            if ( len_s<len_t ) return 0;
            if ( len_s==len_t ) return s==t;
            vector<vector<int> > dp(len_t+1,vector<int>(len_s+1,0));
            // initialization
            dp[0][0] = 1;
            for ( int i=1; i<=len_s; ++i ) dp[0][i] = 1;
            // dp process
            for ( int i=1; i<=len_t; ++i )
            {
                for ( int j=1; j<=len_s; ++j )
                {
                    if ( t[i-1]!=s[j-1] )
                    {
                        dp[i][j] = dp[i][j-1];
                    }
                    else
                    {
                        dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1];
                    }
                }
            }
            return dp[len_t][len_s];
    }
};

tips：

这个题目第一次想到的办法是递归：统计一共要删除多少个字符；每层递归删除一个字符；扫描所有情况。 这种递归的解法大集合肯定会超时。

憋了一会儿dp的解法，这次又把问题想简单了。

这种字符串比较的题目，涉及到记忆化搜索的，可以用二维dp来做。

dp[i][j] 表示T[0:i-1]与S[0:j-1]的匹配次数。

1. 初始化过程，dp[0][i]代表T为空字符，则S若要匹配上T只有把所有字符都删除了一种情况。

2. 状态转移方程：dp[i][j]如何求解？

　这里的讨论点其实很直观，即S[j-1]这个元素到底是不是必须删除。

　　a) 如果T[i-1]!=S[j-1]，则S[j-1]必须得删除（因为这是最后一个元素，不删肯定对不上T[i-1]）; 因此 dp[i][j] = dp[i][j-1]，跟S少用一个字符匹配的情况是一样的。

　　b) 如果T[i-1]==S[j-1]，则S[j-1]可删可不删；因此dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1]：

　　　　“dp[i][j-1]”是把S[j-1]删了的情况；“dp[i-1][j-1]”是不删除S[j-1]的情况，即用S[j-1]匹配上T[i-1]

按照上述的分析过程，可以写出来DP过程。完毕。