uva1635 Irrelevant Elements(唯一分解定理)

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题意：给定n个数a1,a2····an,依次求出相邻两个数值和，将得到一个新数列，重复上述操作，最后结果将变为一个数，问这个数除以m的余数与那些数无关？例如n=3,m=2时，第一次得到a1+a2,a2+a3，在求和得到a1+2*a2+a3，它除以2的余数和a2无关。1=<n<=10^5, 2=<m<=10^9

解题思路：

1、首先我们可以发现对于给定的n其实每项的系数就是C(n-1,i-1)，所以我们只需要找到每项的系数对m取余是否为0即可

2、由于m的取值范围为10^9,所以我们只需要筛选 √(10^9)的素数，然后对m进行分解；如果分解后m>1，说明当前m的是原m的一个素数，而且m> √(10^9)，因此我们只需记录它即可

3、根据C(n,k)=C(n,k)*(n-i+1)/i;(根据这个公式我们可以发现C(n,k)*(n-i+1)一定能整除i)，对m分解式中的素数进行操作即可，具体见代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn= 32000;
int prime[maxn+1];
int nprime;
void getPrime()
{
    int m=sqrt(maxn+0.5);
    for(int i=2; i<=m; ++i) if(!prime[i])
            for(int j=i*i; j<=maxn; j+=i) prime[j]=1;
    nprime=0;
    for(int i=2; i<=maxn; ++i)
    {
        if(!prime[i])
            prime[nprime++]=i;
    }
}
int n,m;
int pm[20];
int em[20];
int im;
void init()
{
    memset(pm,0,sizeof(pm));
    memset(em,0,sizeof(em));
    im=0;
    for(int i=0; i<nprime&&m>=prime[i]; i++)
    {
        if(m%prime[i]==0)
        {
            pm[im]=prime[i];
            while((m%prime[i]==0)&&(m/=prime[i]))
                em[im]++;
            im++;
        }
        if(n==0||n==1)
            break;
    }
    if(m>1)
    {
        pm[im]=m;
        em[im]=1;
        im++;
    }
}
bool getFactors(int x,int y)
{
    bool ff=true;
    for(int i=0; i<im; ++i)
    {
        while((x%pm[i]==0)&&(x/=pm[i]))
            em[i]--;
        while(y%pm[i]==0&&(y/=pm[i]))
            em[i]++;
        if(em[i]>0)
            ff=false;
    }
    return ff;
}
bool flag[100010];
int main()
{
    getPrime();
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        init();
        memset(flag,false,sizeof(flag));
        int ans=0;
        int ends=0;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            if(getFactors(n-i,i))
            {
                flag[i+1]=true;
                ans++;
                ends=i+1;
            }
        printf("%d\n",ans);
        if(ans!=0)
        {
            for(int i=1; i<ends; i++)
                if(flag[i])
                    printf("%d ",i);
            printf("%d",ends);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

收获：

每个整数的唯一分解式项数不多（long long 类型的数值最多20项，前21个素数相乘long long就溢出了）

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