最大子序列

转自 http://blog.csdn.net/luxiaoxun/article/details/7438315

问题： 
给定一整数序列A1， A2，... An （可能有负数），求A1~An的一个子序列Ai~Aj，使得Ai到Aj的和最大 
例如：整数序列-2, 11, -4, 13, -5, 2, -5, -3, 12, -9的最大子序列的和为21。对于这个问题，最简单也是最容易想到的那就是穷举所有子序列的方法。利用三重循环，依次求出所有子序列的和然后取最大的那个。当然算法复杂度会达到O(n^3)。

1. int maxSubSum1(int a[],int size )
2. {
3. int maxSum = 0;
4. for ( int i = 0; i < size; i++ )
5. for ( int j = 1; j < size; j++ )
6. {
7. int thisSum = 0;
8. for ( int k = i; k <= j; k++ )
9. thisSum += a[k];
10. if ( thisSum > maxSum )
11. maxSum = thisSum;
12. }
13. return maxSum;
14. }

这个算法很简单，i表示子序列起始下标，j表示子序列结束下标，遍历子序列的开头和结束下标，计算子序列的和，然后判断最大子序列。很明显的看出算法复杂度是O( pow( n, 3 ) )

显然这种方法不是最优的，下面给出一个算法复杂度为O(n)的线性算法实现，算法的来源于Programming Pearls一书。在给出线性算法之前，先来看一个对穷举算法进行优化的算法，它的算法复杂度为O(n^2)。其实这个算法只是对对穷举算法稍微做了一些修改：其实子序列的和我们并不需要每次都重新计算一遍。假设Sum(i, j)是A[i] ... A[j]的和，那么Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]。利用这一个递推，我们就可以得到下面这个算法：

1. int max_sub(int a[],int size)
2. {
3. 　　int i,j,v;
4. int max=a[0];
5. 　　for(i=0;i<size;i++)
6. 　　{
7. 　　　　v=0;
8. 　　　　for(j=i;j<size;j++)
9. 　　　　{
10. 　　　　　　v=v+a[j];         //Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]
11. 　　　　　　if(v>max)  max=v;
12. 　　　　}
13. 　　}
14. 　　return max;
15. }

那怎样才能达到线性复杂度呢？这里运用动态规划的思想。先看一下源代码实现：

1. int max_sub2(int a[], int size)
2. {
3. 　　int i,max=0,temp_sum=0;
4. 　　for(i=0;i<size;i++)
5. 　　{
6. 　　　　　　temp_sum+=a[i];
7. 　　　　　　if(temp_sum>max)
8. 　　　　　　　　max=temp_sum;
9. 　　　　　　else if(temp_sum<0)
10. 　　　　　　　　temp_sum=0;
11. 　　}
12. 　　return max;
13. }

在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和temp_sum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max，当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将temp_sum置为0。然后，temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前max大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。

全部代码：

 1 #include <stdio.h>
 2
 3 int fun1(int a[], int n_size)
 4 {
 5     int max;
 6     int temp;
 7     int i, j, k;
 8     temp = 0;
 9     max = 0;
10
11     for (i=0; i<n_size; i++)
12     {
13         for (j=i+1; j<n_size; j++)
14         {
15             temp = 0;
16             for(k=i; k<=j; k++)
17             {
18                 temp += a[k];
19                 if(temp >= max)
20                     max = temp;
21             }
22         }
23     }
24
25     return max;
26 }
27
28 int fun2(int a[], int n_size)
29 {
30     int i, j;
31     int v, max;
32     v = a[0];
33     max = a[0];
34
35     for (i=0; i<n_size; i++)
36     {
37         for (j=i+1; j<n_size; j++)
38         {
39             v += a[j];
40             if (v > max)
41                 max = v;
42         }
43         v = 0;
44     }
45     return max;
46 }
47
48 int fun3(int a[], int n_size)
49 {
50     int i;
51     int max, temp;
52     temp = 0;
53     max = 0;
54
55     for (i=0; i<n_size; i++)
56     {
57         temp += a[i];
58         if (temp > max)
59             max = temp;
60         if(temp < 0)
61             temp = 0;
62     }
63     return max;
64 }
65 int main()
66 {
67     int a[5]={6,-1,5,4,-7};
68     printf("fun1():%d\n", fun1(a, 5));
69     printf("fun2():%d\n", fun2(a, 5));
70     printf("fun3():%d\n", fun3(a, 5));
71     return 0;
72 }

运行结果：