BZOJ 4173: 数学

4173: 数学

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Description

Input

输入文件的第一行输入两个正整数 。

Output

如题

Sample Input

5 6

Sample Output

240

HINT

N,M<=10^15

Source

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据说单个欧拉函数$phi(N)$可以在$O(\sqrt{N})$的时间内求出来，所以只关心$\sum_{k\in S(n,m)}{\phi{k}}$是什么。看下PoPoQQQ。

n%k+m%k≥k等价于⌊n+mk⌋−⌊nk⌋−⌊mk⌋=1 
无视掉前面的φ(n)∗φ(m)的话答案就是 
∑n%k+m%k≥kφ(k) 
=∑n+mk=1φ(k)∗⌊n+mk⌋−∑nk=1φ(k)∗⌊nk⌋−∑mk=1φ(k)∗⌊mk⌋

那么∑nk=1φ(k)∗⌊nk⌋又是什么呢？ 
∑ni=1i=∑ni=1∑k|iφ(k)=∑nk=1φ(k)∗⌊nk⌋

因此答案为φ(n)∗φ(m)∗(∑n+mi=1i−∑ni=1i−∑mi=1i)=φ(

 1 #include <cstdio>
 2
 3 typedef long long lnt;
 4
 5 __inline lnt phi(lnt n)
 6 {
 7     lnt r = n;
 8
 9     for (lnt i = 2; i*i <= n; ++i)
10         if (n % i == 0)
11         {
12             r = (r / i) * (i - 1);
13             while (n % i == 0)n /= i;
14         }
15
16     if (n != 1)r = (r / n) * (n - 1);
17
18     return r;
19 }
20
21 const lnt mod = 998244353LL;
22
23 lnt n, m;
24
25 signed main(void)
26 {
27     scanf("%lld%lld", &n, &m);
28     printf("%lld\n",
29         ((phi(n) % mod) * (phi(m) % mod) % mod)
30     *    ((n % mod) * (m % mod) % mod) % mod);
31 }

@Author: YouSiki