本篇口胡写给我自己这样的老是证错东西的口胡选手 以及那些想学支配树，又不想啃论文原文的人…
大概会讲的东西是求支配树时需要用到的一些性质，以及构造支配树的算法实现…
最后讲一下把只有路径压缩的并查集卡到$O(m \log n)$上界的办法作为小彩蛋…
1、基本介绍 支配树 DominatorTree
对于一个流程图（单源有向图）上的每个点$w$，都存在点$d$满足去掉$d$之后起点无法到达$w$，我们称作$d$支配$w$，$d$是$w$的一个支配点。
支配$w$的点可以有多个，但是至少会有一个。显然，对于起点以外的点，它们都有两个平凡的支配点，一个是自己，一个是起点。
在支配$w$的点中，如果一个支配点$i \neq w$满足$i$被$w$剩下的所有支配点支配，则这个$i$称作$w$的最近支配点(immediate dominator)，记作$idom(w)$。
定理1：我们把图的起点称作$r$，除$r$以外每个点均存在唯一的$idom$。
这个的证明很简单：如果$a$支配$b$且$b$支配$c$，则$a$一定支配$c$，因为到达$c$的路径都经过了$b$所以必须经过$a$；如果$b$支配$c$且$a$支配$c$，则$a$支配$b$（或者$b$支配$a$），否则存在从$r$到$b$再到$c$的路径绕过$a$，与$a$支配$c$矛盾。这就意味着支配定义了点$w$的支配点集合上的一个全序关系，所以一定可以找到一个“最小”的元素使得所有元素都支配它。
于是，连上所有$r$以外的$idom(w) \to w$的边，就能得到一棵树，其中每个点支配它子树中的所有点，它就是支配树。
支配树有很多食用…哦不…是实际用途。比如它展示了一个信息传递网络的关键点，如果一个点支配了很多点，那么这个点的传递效率和稳定性要求都会很高。比如Java的内存分析工具(Memory Analyzer Tool)里面就可以查看对象间引用关系的支配树…很多分析上支配树都是一个重要的参考。
为了能够求出支配树，我们下面来介绍一下需要用到的基本性质。
2、支配树相关性质
首先，我们会使用一棵DFS树来帮助我们计算。从起点出发进行DFS就可以得到一棵DFS树。
观察上面这幅图，我们可以注意到原图中的边被分为了几类。在DFS树上出现的边称作树边，剩下的边称为非树边。非树边也可以分为几类，从祖先指向后代（前向边），从后代指向祖先（后向边），从一棵子树內指向另一棵子树内（横叉边）。树边是我们非常熟悉的，所以着重考虑一下非树边。
我们按照DFS到的先后顺序给点从小到大编号（在下面的内容中我们通过这个比较两个节点），那么前向边总是由编号小的指向编号大的，后向边总是由大指向小，横叉边也总是由大指向小。现在在DFS树上我们要证明一些重要的引理：
引理1（路径引理）：
如果两个点$v,w$满足$v \leq w$，那么任意$v$到$w$的路径经过$v,w$的公共祖先。（注意这里不是说LCA）
证明：
如果$v,w$其中一个是另一个的祖先显然成立。否则删掉起点到LCA路径上的所有点（这些点是$v,w$的公共祖先），那么$v$和$w$在两棵子树内，并且因为公共祖先被删去，无法通过后向边到达子树外面，前向边也无法跨越子树，而横叉边只能从大到小，所以从$v$出发不能离开这颗子树到达$w$。所以如果本来$v$能够到达$w$，就说明这些路径必须经过$v,w$的公共祖先。
在继续之前，我们先约定一些记号：
$V$代表图的点集，$E$代表图的边集。$a \to b$代表从点$a$直接经过一条边到达点$b$，$a \leadsto b$代表从点$a$经过某条路径到达点$b$，$a \dot \to b $代表从点$a$经过DFS树上的树边到达点$b$（$a$是$b$在DFS树上的祖先），$a \overset{+}{\to} b$代表$a \dot \to b$且$a \neq b$。
定义 半支配点(semi-dominator)：
对于$w \neq r$，它的半支配点定义为$sdom(w)=\min\{ v | \exists (v_0,v_1,\cdots,v_{k-1},v_k), v_0 = v, v_k = w, \forall 1 \leq i \leq k-1, v_i>w \}$
对于这个定义的理解其实就是从$v$出发，绕过$w$之前的所有点到达$w$。（只能以它之后的点作为落脚点）
注意这只是个辅助定义，并不是真正的支配点。甚至在只保留$w$和$w$以前的点时它都不一定是支配点。例子：$V = \{1,2,3,4\}, E = \{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4), r = 1, sdom(4) = 2$但是$2$不支配$4$。但是它代表了有潜力成为支配点的点，在后面我们可以看到，所有的$idom$都来自自己或者另一个点的$sdom$。
引理2
对于任意$w \neq r$，有$idom(w) \overset{+}{\to} w$。
证明很显然，如果不是这样的话就可以直接通过树边不经过$idom(w)$就到达$w$了，与$idom$定义矛盾。
引理3
对于任意$w \neq r$，有$sdom(w) \overset{+}{\to} w$。
证明：
对于$w$在DFS树上的父亲$fa_w$，$fa_w \to w$这条路径只有两个点，所以满足$sdom$定义中的条件，于是它是$sdom(w)$的一个候选。所以$sdom(w) \leq fa_w$。在这里我们就可以使用路径引理证明$sdom(w)$不可能在另一棵子树，因为如果是那样的话就会经过$sdom(w)$和$w$的一个公共祖先，公共祖先的编号一定小于$w$，所以不可行。于是$sdom(w)$就是$w$的真祖先。
引理4
对于任意$w \neq r$，有$idom(w) \dot \to sdom(w)$。
证明：
如果不是这样的话，按照$sdom$的定义，就会有一条路径是$r \dot \to sdom(w) \leadsto w$不经过$idom(w)$了，与$idom$定义矛盾。
引理5
对于满足$v \dot \to w$的点$v,w$，$v \dot \to idom(w)$或$idom(w) \dot \to idom(v)$。
（不严谨地说就是$idom(w)$到$w$的路径不相交或者被完全包含，其实$idom(w)$这个位置是可能相交的）
证明：
如果不是这样的话，就是$idom(v) \overset{+}{\to} idom(w) \overset{+}{\to} v \overset{+}{\to} w$，那么存在路径$r \dot \to idom(v) \leadsto v \overset{+}{\to}$不经过$idom(w)$到达了$w$（因为$idom(w)$是$idom(v)$的真后代，一定不支配$v$，所以存在绕过$idom(w)$到达$v$的路径），矛盾。
上面这5条引理都比较简单，不过是非常重要的性质。接下来我们要证明几个定理，它们揭示了$idom$与$sdom$的关系。证明可能会比上面的复杂一点。
定理2
对于任意$w \neq r$，如果所有满足$sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w$的$u$也满足$sdom(u) \geq sdom(w)$，那么$idom(w) = sdom(w)$。
$$ sdom(w) \dot \to sdom(u) \overset{+}{\to} u \dot \to w $$
证明：
由上面的引理4知道$idom(w) \dot \to sdom(w)$，所以只要证明$sdom(w)$支配$w$就可以保证是最近支配点了。对任意$r$到$w$的路径，取上面最后一个编号小于$sdom(w)$的$x$（如果$sdom$就是$r$的话显然定理成立），它必然有个后继$y$满足$sdom(w) \dot \to y \dot \to w$（否则$x$会变成$sdom(w)$），我们取最小的那个$y$。同时，如果$y$不是$sdom(w)$，根据条件，$sdom(y) \geq sdom(w)$，所以$x$不可能是$sdom(y)$，这就意味着$x$到$y$的路径上一定有一个$v$满足$x \overset{+}{\to} v \overset{+}{\to} y$，因为$x$是小于$sdom(w)$的最后一个，所以$v$也满足$sdom(w) \dot \to v \dot \to w$，但是我们取的$y$已经是最小的一个了，矛盾。于是$y$只能是$sdom(w)$，那么我们就证明了对于任意路径都要经过$sdom(w)$，所以$sdom(w)$就是$idom(w)$。
定理3
对于任意$w \neq r$，令$u$为所有满足$sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w$的$u$中$sdom(u)$最小的一个，那么$sdom(u) \leq sdom(w) \Rightarrow idom(w) = idom(u)$。
$$ sdom(u) \dot \to sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w $$
证明：
由引理5，有$idom(w) \dot \to idom(u)$或$u \dot \to idom(w)$，由引理4排除后面这种。所以只要证明$idom(u)$支配$w$即可。类似定理2的证明，我们取任意$r$到$w$路径上最后一个小于$idom(u)$的$x$（如果$idom(u)$是$r$的话显然定理成立），路径上必然有个后继$y$满足$idom(u) \dot \to y \dot \to w$（否则$x$会变成$sdom(w)$），我们取最小的一个$y$。类似上面的证明，我们知道$x$到$y$的路径上不能有点$v$满足$idom(u) \dot \to v \overset{+}{\to} y$，于是$x$成为$sdom(y)$的候选，所以$sdom(y) \leq x$。那么根据条件我们也知道了$y$不能是$sdom(w)$的真后代，于是$y$满足$idom(u) \dot \to y \dot \to sdom(w)$。但是我们注意到因为$sdom(y) \leq x$，存在一条路径$r \dot \to sdom(y) \leadsto y \dot \to u$，如果$y$不是$idom(u)$的话这就是一条绕过$idom(u)$的到$u$的路径，矛盾，所以$y$必定是$idom(u)$。所以任意到$w$的路径都经过$idom(u)$，所以$idom(w)=idom(u)$ 。
幸苦地完成了上面两个定理的证明，我们就能够通过$sdom$求出$idom$了：
推论1
对于$w \neq r$，令$u$为所有满足$sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w$的$u$中$sdom(u)$最小的一个，有
$$ idom(w) = \left \{ \begin{aligned}& sdom(w)&(sdom(u)=sdom(w))&\\ &idom(u)&(sdom(u)<sdom(w))&\end{aligned} \right .$$
通过定理2和定理3可以直接得到。这里一定有$sdom(u) \leq sdom(w)$，因为$w$也是$u$的候选。
接下来我们的问题是，直接通过定义计算$sdom$很低效，我们需要更加高效的方法，所以我们证明下面这个定理：
定理4
对于任意$w \neq r$，$sdom(w) = min({v | (v, w) \in E , v < w} \cup {sdom(u) | u > w , \exists (v, w) \in E , u \dot \to v} )$
证明：
令右侧为$x$，显然右侧的点集中都存在路径绕过$w$之前的点，所以$sdom(w) \leq x$。然后我们考虑$sdom(w)$到$w$的绕过$w$之前的点的路径，如果只有一条边，那么必定满足$(sdom(w),w) \in E$且$sdom(w)<w$，所以此时$x \leq sdom(w)$；如果多于一条边，令路径上$w$的上一个点为$last$，我们取路径上除两端外满足$p \dot \to last$的最小的$p$（一定能取得这样的$p$，因为$last$是$p$的候选）。因为这个$p$是最小的，所以$sdom(w)$到$p$的路径必定绕过了$p$之前的所有点，于是$sdom(w)$是$sdom(p)$的候选，所以$sdom(p) \leq sdom(w)$。同时，$sdom(p)$还满足右侧的条件（$p$在绕过$w$之前的点的路径上，于是$p>w$，并且$p\dot \to last$，同时$last$直接连到了$w$），所以$sdom(p)$是$x$的候选，$x \leq sdom(p)$。所以$x \leq sdom(p) \leq sdom(w)$，$x \leq sdom(w)$。综上，$sdom(w) \leq x$且$x \leq sdom(w)$，所以$x=sdom(w)$。
好啦，最困难的步骤已经完成了，我们得到了$sdom$的一个替代定义，而且这个定义里面的形式要简单得多。这种基本的树上操作我们是非常熟悉的，所以没有什么好担心的了。接下来就可以给出我们需要的算法了。
3、Lengauer-Tarjan算法
算法流程：
1、初始化、跑一遍DFS得到DFS树和标号
2、按标号从大到小求出$sdom$（利用定理4）
3、通过推论1求出所有能确定的$idom$，剩下的点记录下和哪个点的$idom$是相同的
4、按照标号从小到大再跑一次，得到所有点的$idom$
很简单对不对~有了理论基础后算法就很显然了。
具体实现：
大致要维护的东西：
$vertex(x)$ 标号为$x$的点$u$
$pred(u)$ 有边直接连到$u$的点集
$parent(u)$ $u$在DFS树上的父亲$fa_u$
$bucket(u)$ $sdom$为点$u$的点集
以及$idom$和$sdom$数组
第1步没什么特别的，规规矩矩地DFS一次即可，同时初始化$sdom$为自己（这是为了实现方便）。
第2、3步可以一起做。通过一个辅助数据结构维护一个森林，支持加入一条边($link(u,v)$)和查询点到根路径上的点的$sdom$的最小值对应的点($eval(u)$)。那么我们求每个点的$sdom$只需要对它的所有直接前驱$eval$一次，求得前驱中的$sdom$最小值即可。因为定理4中的第一类点编号比它小，它们还没有处理过，所以自己就是根，$eval$就能取得它们的值；对于第二类点，$eval$查询的就是满足$u \dot \to v$的$u$的$sdom(u)$的最小值。所以这么做和定理4是一致的。
然后把该点加入它的$sdom$的$bucket$里，连上它与父亲的边。现在它父亲到它的这棵子树中已经处理完了，所以可以对父亲的$bucket$里的每个点求一次$sdom$并且清空$bucket$。对于$bucket$里的每个点$v$，求出$eval(v)$，此时$parent(w) \overset{+}{\to} eval(v) \dot \to v$，于是直接按照推论1，如果$sdom(eval(v))=sdom(v)$，则$idom(v)=sdom(v)=parent(w)$；否则可以记下$idom(v)=idom(eval(v))$，实现时我们可以写成$idom(v)=eval(v)$，留到第4步处理。
最后从小到大扫一遍完成第4步，对于每个$u$，如果$idom(u)=sdom(u)$的话，就已经是第3步求出的正确的$idom$了，否则就证明这是第3步留下的待处理点，令$idom(u)=idom(idom(u))$即可。
对于这个辅助数据结构，我们可以选择并查集。不过因为我们需要查询到根路径上的信息，所以不方便写按秩合并，但是我们仍然可以路径压缩，压缩时保留路径上的最值就可以了，所以并查集操作的复杂度是$O(\log n)$。这样做的话，最终的复杂度是$O(n \log n)$。（各种常见方法优化的并查集只要没有按秩合并就是做不到$\alpha$的复杂度的，最下面我会提到如何卡路径压缩）
原论文还提到了一个比较奥妙的实现方法，能够把这个并查集优化到$\alpha$的复杂度，不过看上去比较迷，我觉得我会写错，所以就先放着了，如果有兴趣的话可以找原论文A Fast Algorithm for Finding Dominators in a Flowgraph，里面的参考文献14是Tarjan的另一篇东西Applications of Path Compression on Balanced Trees，原论文说用的是这里面的方法…等什么时候无聊想要真正地学习并查集的各种东西的时候再看吧…（我又挖了个大坑）
代码实现
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; inline int read() { int s = 0; char c; while((c=getchar())<‘0‘||c>‘9‘); do{s=s*10+c-‘0‘;}while((c=getchar())>=‘0‘&&c<=‘9‘); return s; } const int N = 200010; struct eg{ int dt,nx; }e[N]; int n,m,tim,tot; int h[N],iw[N],li[N],fa[N],sdom[N],idom[N]; int fo[N],vo[N]; vector<int> pre[N],bkt[N]; int findf(int p) { if(fo[p]==p) return p; int r = findf(fo[p]); if(sdom[vo[fo[p]]]<sdom[vo[p]]) vo[p] = vo[fo[p]]; return fo[p] = r; } inline int eval(int p) { findf(p); return vo[p]; } void dfs(int p) { li[iw[p]=++tim] = p, sdom[p] = iw[p]; for(int pt=h[p];pt;pt=e[pt].nx) if(!iw[e[pt].dt]) dfs(e[pt].dt), fa[e[pt].dt] = p; } void work() { int i,p; dfs(1); for(i=tim;i>=2;i--) { p = li[i]; for(int k : pre[p]) if(iw[k]) sdom[p] = min(sdom[p],sdom[eval(k)]); bkt[li[sdom[p]]].push_back(p); int fp = fa[p]; fo[p] = fa[p]; for(int v : bkt[fp]) { int u = eval(v); idom[v] = sdom[u]==sdom[v]?fp:u; } bkt[fp].clear(); } for(i=2;i<=tim;i++) p = li[i], idom[p] = idom[p]==li[sdom[p]]?idom[p]:idom[idom[p]]; for(i=2;i<=tim;i++) p = li[i], sdom[p] = li[sdom[p]]; } inline void link(int a,int b) { e[++tot].dt = b, e[tot].nx = h[a], h[a] = tot; pre[b].push_back(a); } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("in.txt","r",stdin); #endif int i; n = read(), m = read(); tim = tot = 0; for(i=1;i<=n;i++) h[i] = iw[i] = 0, fo[i] = vo[i] = i, pre[i].clear(), bkt[i].clear(); for(i=1;i<=m;i++){ int a = read(); link(a,read()); } work(); return 0; }
我的变量名都很迷…不要在意…（它们可是经过了长时间的结合中文+英文+象形+脑洞的演变得出的结果）
稍微需要注意一下的就是实现时点的真实编号和DFS序中的编号的区别，DFS序的编号是用来比较的那个。以及尽量要保持一致性（要么都用真实编号，要么都用DFS序编号），否则很容易写错…我的这段代码里$idom$用的是真实编号，$sdom$用的是DFS序编号，最后再跑一次把$sdom$转成真实编号的。
4、欢快的彩蛋 卡并查集！
是不是听到周围有人说：“我的并查集只写了路径压缩，它是单次操作$\alpha$的”。这时你要坚定你的信念，你要相信这是$O(\log n)$的。如果他告诉你这个卡不了的话…你或许会觉得确实很难卡…我也觉得很难卡…但是Tarjan总知道怎么卡。
现在确认一下纯路径压缩并查集的实现方法：每次基本操作$find(v)$后都把$v$到根路径上的所有点直接接在根的下面，每次合并操作对需要合并的两个点执行$find$找到它们的根。
看起来挺优的。（其实真的挺优的，只是没有$\alpha$那么优）
Tarjan的卡法基于一种特殊定义的二项树（和一般的二项树的定义不同）。
定义这种特殊的二项树$T_k$为一类多叉树，其中$T_1,T_2,\cdots,T_j$都是一个单独的点，对于$T_k, k>j$，$T_k$就是$T_{k-1}$再接上一个$T_{k-j}$作为它的儿子。
就像这样。这种定义有一个有趣的特性，如果我们把它继续展开，可以得到各种有趣的结果。比如我们把上面图中的$T_{k-j}$继续展开，就会变成$T_{k-j-1}$接着$T_{k-2j}$，以此类推可以展开出一串。而如果对$T_{k-1}$继续展开，父节点就会变成$T_{k-2}$，子节点多出一个$T_{k-j-1}$，以此类推可以展开成一层树。下面的图展示了展开$T_k$的不同方式。
让我们好好考虑一下这意味着什么。从图4到图5…除了这些树的编号没有对应上以外，会不会有一种感觉，图5像是图4路径压缩后的结果。
图4的展开方式中编号的间隔都是$j$，图5的展开方式中间隔都是$1$…那么如果我们用图5的方式展开出$j$棵子树，再按图4展开会怎么样呢？（假设$j$整除$k$）
变成了这个样子，就确实和路径压缩扯上关系了。如果在最顶上再加一个点，然后$j$次访问底层的$T_1,T_2,\cdots,T_j$，就可以把树压成图5的样子了，不过会多一个单点的儿子出来，因为图6中其实有两个$T_j$（因为图4展开到最后一层没有了$-1$，所以会和上一层出现一次重复）。这么一来，我们又可以做一次这一系列操作了，非常神奇！（原论文里把这个叫做self-reproduction）至于$T_k$的实际点数，通过归纳法可以得到点数不超过$(j+1)^{\frac{k}{j}-1}$。（我们只对能被$j$整除的$k$进行计算，每次$j$次展开父节点进行归纳）
有了这个我们就有信心卡纯路径压缩并查集了。令$m$代表询问操作数，$n$代表合并操作数，不妨设$m \geq n$，我们取$j=\left \lfloor \frac{m}{n} \right \rfloor, i=\left \lfloor \log_{j+1}\frac{n}{2} \right \rfloor +1, k = ij$。那么$T_k$的大小不超过$(j+1)^{i-1}$即$\frac{n}{2}$。接下来我们做$\frac{n}{2}$组操作，每组在最顶上加入一个点，然后对底层的$j$个节点逐一查询，每次查询的路径长度都是$i+1$。同时总共的查询次数还是不超过$m$。于是总共的复杂度是$\frac{n}{2}j(i+1)=\Omega(m \log_{1+m/n} n)$。
Boom~爆炸了，所以它确实是$\log$级的。
彩蛋到这里就结束啦…如果想知道更多并查集优化方法怎么卡，可以去看这一部分参考的原论文Worst-Case Analysis of Set Union Algorithms，里面还附带了一个表，有写各种并查集实现不带按秩合并和带按秩合并的复杂度，嗯，卡并查集还是挺有趣的（只是一般人想不到呀…Tarjan太强辣）…
（题外话：这次我画了好多图，感觉自己好良心呀w 其实都是对着论文上的例子画的）