最长上升子序列问题：
给出一个由n个数组成的序列x[1..n]，找出它的最长单调上升子序列。即求最大的m和a1,
a2……,am，使得a1<a2<……<am且x[a1]<x[a2]<……<x[am]。
1.动态规划求解思路分析：（O(n^2)）
经典的O(n^2)的动态规划算法，设a[i]表示序列中的第i个数，b[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(a))。则有动态规划方程：b[i] = max{1, b[j] + 1} (更新，最大的加一)(j = 1, 2, ..., i - 1, 且a[j] < a[i])。
令a[i]表示输入第i个元素，b[i]表示从a[1]到a[i]中以a[i]结尾的最长子序列长度。对于任意的0 < j <= i-1，如果a(j) < a(i)，则a(i)可以接在a(j)后面形成一个以a(i)结尾的新的最长上升子序列。对于所有的 0 < j <= i-1，我们需要找出其中的最大值。
DP状态转移方程:
b[i] = max{1, b[j] + 1} (j = 1, 2, 3, ..., i-1 且 a[j] < a[i])
解释一下这个方程，i， j在范围内:
如果 a[j] < a[i] ，则b[i] = b[j] + 1
如果 a[j] >= a[i] ，则b[i] = 1
1 #include <stdio.h>
2 int a[10000],b[10000];
3 int main()
4 {
5 int n, i, j, max;
6 scanf("%d", &n);
7 for(i=0;i<n;i++)
8 {
9 scanf("%d", &a[i]);
10 b[i] = 1;
11 }
12 for(i=n-1;i>=0;i--)
13 for(j=i;j<n;j++)
14 if(a[i]<a[j] && b[j]+1>b[i])
15 b[i] = b[j]+1;
16 for(max=1,i=0;i<n;i++)
17 if(max < b[i])
18 max = b[i];
19 printf("%d\n", max);
20 return 0;
21 }
O（n*n）
2.贪心+二分查找：（O(nlogn)）
开辟一个栈，每次取栈顶元素s和读到的元素a做比较，如果a>s，则加入栈；
如果a<s，则二分查找栈中的比a大的第1个数，并替换。
最后序列长度为栈的长度。
这也是很好理解的，对x和y，如果x<y且E[y]<E[x],用E[x]替换 E[y],此时的最长序列长度没有改变但序列Q的‘‘潜力‘‘增大。
举例：原序列为1，5，8，3，6，7
栈为1，5，8，此时读到3，则用3替换5，得到栈中元素为1，3，8
再读6，用6替换8，得到1，3，6
再读7，得到最终栈为1，3，6，7
最长递增子序列为长度4。
用数组模拟
#include <stdio.h>
int f(int a[], int n)
{
int b[10100];
int t, i, z ,y, mid;
b[t=1] = a[0];
for(i=1;i<n;i++)
{
if(a[i]>b[t])
b[++t] = a[i];
else
{
z=0;y=t;
while(z<y)
{
mid = (z+y)/2;
if(b[mid] > a[i])
y = mid;
else
z = mid+1;
}
b[z] = a[i];
}
}
return t;
}
int main()
{
int a[100011];
int n, i, k;
scanf("%d", &n);
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d", &a[i]);
printf("%d\n", f(a, n));
return 0;
}
O(nlogn)
推荐一些最大上升序列的题
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题解: