一、过拟合与正则化作用
1、先了解什么是过拟合
了解什么是过拟合问题,以下面图片为例,我们能够看到有两个类别,蓝色是分类曲线模型。
- 欠拟合:图1分类,不能很好的将X和O很好的分类,属于欠拟合。
- 正拟合:图2有两个X被误分类,但是大部分数据都能很好的分类,误差在可接受范围内,分类效果好,属于良好的拟合模型。
- 过拟合:图3虽然能够全部分类正确,但分类曲线明显过于复杂,模型学习的时候学习了过多的参数项,但其中某些参数项是无用的特征。当我们进行识别测试集数据时,就需要提供更多的特征,如果测试集包含海量的数据,模型的时间复杂度可想而知。
2、正则化作用
模型过拟合是因为模型过于复杂,可以通过对特征变量系数的调整来避免过拟合,而引入正则化正是为了实现这个目的,具体如何实现将在下一节说明。
常见的正则化方法有这几种:
- 当参数是向量的时候(如logistics回归,参数为$\left (\theta _{i}:\theta _{1},\theta _{2},...,\theta _{n} \right )$),有L1正则化、L2正则化。
- 当参数是矩阵的时候(如神经网络的权重矩阵W),这时候用的是F-1范数正则化、F-2范数正则化,现在基本都是使用F-2范数正则化比较多。
- 神经网络还有Drop正则化。
- 增加训练集的数据量可以避免过拟合,另外有些模型可以用集成学习的Bagging、boost方法来进行正则化。
二、神经网络的正则化
1、矩阵的F-1范数、F-2范数(Frobenius范数,注意:这里和logistics回归的L1、L2正则化的向量范数不一样)
- 矩阵的F-1范数:矩阵所有元素的绝对值之和:
$$\left \| W \right \|_{1}=\sum_{i,j}\left |\omega _{i,j} \right |$$
- 矩阵的F-2范数:矩阵所有元素的平方求和后开根号:
$$\left \| W \right \|_{2}=\sqrt{\sum_{i,j}\left (\omega _{i,j} \right )^{2}}$$
2、L1正则化与L2正则化
假设神经网络的损失函数为J(W,b),参考逻辑回归的正则化,是在损失函数J(W,b)后面加一个正则化项,神经网络DNN也是一样的,只是变成了加F-范数,L1正则化与L2正则化如下所示:
$$L2: J(W,b)+\frac{\lambda }{2m}\sum_{l\epsilon L}\left \| W \right \|_{2}=J(W,b)+\frac{\lambda }{2m}\sum_{l\epsilon L}\sqrt{\sum_{i,j}\left (\omega _{i,j} \right )^{2}}$$
$$L1: J(W,b)+\frac{\lambda }{2m}\sum_{l\epsilon L}\left \| W \right \|_{1}=J(W,b)+\frac{\lambda }{m}\sum_{l\epsilon L}\sum_{i,j}\left |\omega _{i,j} \right |$$
这里m为样本数,l为各个隐藏层,$\lambda$为超参数,需要自己调试。
3、以L2正则的权重衰减防止过拟合
由于L1正则与L2正则原理相似,而且大多数神经网络模型使用L2正则,所以这里以L2为例来说明为什么能防止过拟合。
直观理解:
原损失函数$J(W,b)$加上正则项$\frac{\lambda }{2m}\sum_{l\epsilon L}\left \| W \right \|_{2}$之后的新损失函数$J(W,b)^{‘}=J(W,b)+\frac{\lambda }{2m}\sum_{l\epsilon L}\left \| W \right \|_{2}$,在使用梯度下降训练模型时,目标是要最小化新的损失函数$ J(W,b)^{‘}$,我们在训练前先设置超参数$\lambda$,若设置较大的超参数$\lambda=0.9$,则相对于设置较小的超参数$\lambda=0.1$,我们需要更小的权重F-2范数$\left \| W \right \|_{2}$才能够使得我们达到最小化$ J(W,b)^{‘}$的目的。所以如果我们使用较大的超参数$\lambda$的时候,会使得W整体变得更加的稀疏,这样就可以使得W的影响减少,从而避免了由于模型过于复杂导致的过拟合。
公式推导:
$$新损失函数:J(W,b)^{‘}=J(W,b)+\frac{\lambda }{2m}\sum_{l\epsilon L}\left \| W \right \|_{2}$$
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