笔者太菜,现在才学欧拉函数还学得不咋滴……
定义
定义:\(φ(n)\)是小于等于\(n\),且与\(n\)互质的数的个数。
写成另一个式子就是:\(∑_{i=1}^{n} 1[gcd(i,n)==1]\)
有一个结论,是\(φ(n)\)为积性函数,即有\(φ(ab)=φ(a)*φ(b)\).
还有一些其它性质:当\(p\)为质数时,显然有\(φ(p)=p-1\).
若\(p|n\) 且\(p^2 | n\),则\(φ(n)=φ(n/p)*p\)
若\(p|n\) 且不满足\(p^2 | n\),则\(φ(n)=φ(n/p)*(p-1)\)
还有:\(∑_{d|n} φ(d)=n\)
由于它是积性函数,于是我们可以用欧拉筛把它筛出来。
当\(p=prime\)时,用第一个性质。
当\(p\)与\(x\)互质时,则\(φ(x*p)=φ(x)*φ(p)\)
当\(x\)与\(p\)不互质时,就有:
设\(x=t*p^k\)
则有:\(φ(x*p)=φ(t*p^{k+1})=φ(t*p^k)*p=φ(x)*p\)
由此可以写出欧拉筛程序:
void Init(){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=MAXN;++i){
if(is_prime[i])phi[i]=i-1,p[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j){
is_prime[i*p[j]]=0;
if(i%p[j]==0){
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
}
else phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
}
}
}
继续普及定理:
欧拉定理:当\(x\)与\(p\)互质时,有:
\(x^{φ(m)}≡1(mod p)\)
这个东西的局限性有点大,来看一下拓展欧拉定理:
无需\(x\)与\(p\)互质,当\(y>φ(p)\)时,有:
$ x^y$ \(≡\) \(x^{b%φ(p)+φ(p)}\) \((mod\) \(p)\)
当$y<φ(p)时,指数上没有那个+φ(p)
根据这个东西,我们可以解决一些问题,诸如:
\(2^{2^{2^...}}\) \(mod\) \(p\)的东西(上帝与集合的正确用法)
来一个题目:求\(x,y<=n\)且\(gcd(x,y)∈prime\)的数对个数。
看向文章第一个式子,\(∑_{i=1}^{n} 1[gcd(i,n)==1]\)
自然联想到欧拉函数。
把\(gcd\)变一下,\(gcd(x,y)=1\) \(->\) \(gcd(x*p,y*p)=p(p∈prime)\)
那么,我们就想求\(p∈prime\) 且\(p<=n\)
自然一遍筛法。而且可以顺便把欧拉函数筛出来。
对于一个数对\((a,b)\),设\(a<=b\),
那么\(a\)有 \(φ(p)\)个值可以使\(gcd(a,b)=1\).
那么我们可以做一下前缀和。
答案就变为:枚举所有\(p<=n\)且p为质数,由于没有大小限制所以最后答案\(*2\);注意枚举时的重复,注意欧拉函数统计1时所计算的重复,所以有\(-1\).
\(Code:\)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1e7+10;
int phi[MAXN],n,tot,p[MAXN],flg[MAXN];
long long Ans,sum[MAXN];
void Init(int MAXN1){
phi[1]=1;
/*for(int i=2;i<=MAXN1;++i){
if(!phi[i])
prime[++tot]=i;
for(int j=i;j<=MAXN1;j+=i){
if(!phi[j])phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}*/
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) {
if(!flg[i]) p[++tot]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j) {
flg[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0) {
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
} else {
phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
}
}
}
for(int i=1;i<=MAXN;++i)sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}
int main(){
scanf("%d",&n);
Init(n+10);
for(int i=1;i<=tot&&p[i]<=n;++i)Ans+=sum[n/p[i]]+sum[n/p[i]]-1;
printf("%lld\n",Ans);
return 0;
}
?
原文地址:https://www.cnblogs.com/h-lka/p/11600309.html