catalan卡特兰数

catalan卡特兰数：卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数例。由比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814-1894）命名。卡塔兰数的一般公式为 C(2n,n)/（n+1）。

一般计算式为（递归）：h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)
 (n>1)，h(0)=1。

计算单个catalan的C++程序：

ll catalan(int n)
{
    if(n==0||n==1) return 1;
    ll sum=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        sum=(4*i-2)*sum/(i+1);
    return sum;
}

计算多个catalan的打表C++程序：

ll ca[100];
void catalan(int n)
{
    ca[0]=ca[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ca[i]=(4*i-2)*ca[i-1]/(i+1);
}

因为第三十项之后catalan数就超long long了，所以附上JAVA大数算的catalan数：

import java.io.*;
import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main
{
	private static BigInteger four=BigInteger.valueOf(4);
	private static BigInteger two=BigInteger.valueOf(2);
	private static BigInteger []ca=new BigInteger[105];
	public static void catalan(int n)
	{
		ca[0]=ca[1]=BigInteger.ONE;
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			BigInteger nn=BigInteger.valueOf(i);
			BigInteger mm=(four.multiply(nn)).subtract(two);
			BigInteger ii=nn.add(BigInteger.ONE);
			ca[i]=(mm.multiply(ca[i-1])).divide(ii);
		}
	}
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner cin=new Scanner (new BufferedInputStream(System.in));
        catalan(100);
        while(cin.hasNextInt())
        {
        	int n=cin.nextInt();
        	System.out.println(ca[n]);
        }

    }
}

卡特兰数的前几项：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700,
1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

最常用catalan数的是出栈问题：一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?符合catalan数。

wikioi 1086，3112，3113，3134.

还有2014微软编程之美有道题就是catalan数。

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