KM算法(二分图完美匹配)

前言

其实这是一个很玄学的算法，我也不是很懂。但是慢慢地写，就慢慢地懂了。

例子

我们先看到这样一个例子：
现有n个男生和n个女生，每一个女生对于一个男生都有一个期望值。现在想知道期望值最大是多少。

算法

那么显然,我们需要一种算法来完成这个任务,KM腾空出世!

在此之前,我们需要了解一些东西:

前置知识

期望值：女生连的边中边权最大的值，称之为女生的期望值

l(x)+l(y)>=w(i,j)

当l(x)+l(y)=w(i,j)时，是M图的完美匹配！

过程

原则

• 能换就换(思想很像匈牙利求二分图最大匹配)

做法

1. 对于每一个妹子,选择她最喜欢的男生
2. 如果无法达到以上要求,前往4
3. 如果可以,递归修改她人男友.前往1
4. 所有访问过的女生值域减去
5. 访问过的男生值域加上

代码实现

复杂度及优化

以上代码的复杂度为O(n^4)

有一些优化可以使代码复杂度降为O(n^3)，由EK提出

显然，每一次修改，我们都不停地在计算l(x)+l(y)-w(x,y)，不妨设一个变量slack表示l(x)+l(y)-w(x,y)，那么显然，我们每一次查询就从O(n^2)变成了O(n)，每一次修改的复杂度为O(1)

例题