判断三角形形状

一、依据：主要是正、余弦定理的角的形式或者边的形式，其次还可能用到诱导公式，两角和与差的公式和二倍角公式等，

二、变形思路：

①角化边，转化为只有边的形式，解代数方程得到，

②边化角，转化为只有角的形式，解三角方程得到，

三、例题

\(\fbox{例1}\)

设\(\Delta ABC\)的内角\(A，B，C\)所对的边分别为\(a，b，c\)，若\(bcosC+ccosB=asinA\)，则\(\Delta ABC\)的形状为【】

A、锐角三角形 \(\hspace{2cm}\) B、直角三角形 \(\hspace{2cm}\) C、钝角三角形 \(\hspace{2cm}\) D、不确定

分析：用正弦定理的边的形式，边化角，得到\(sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA\)，
即\(sin(B+C)=sinA=sinAsinA\)，由于\(sinA\neq 0\)，故\(sinA=1\)，故\(A=\cfrac{\pi}{2}\)，故为直角三角形。

\(\fbox{例2}\)

上例中的条件变为:若\(2sinAcosB=sinC\),则\(\Delta ABC\)的形状为【】

A、直角三角形 \(\hspace{2cm}\) B、等腰三角形 \(\hspace{2cm}\) C、等腰直角三角形 \(\hspace{2cm}\) D、正三角形

分析：由条件\(2sinAcosB=sinC\)得到，\(2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\)，

整理得到\(sinAcosB-cosAsinB=0\)，即\(sin(A-B)=0\)，

故\(A=B\)，即为等腰三角形。

\(\fbox{例3}\)

上例中的条件变为:若\(acosA=bcosB\)，则\(\Delta ABC\)的形状为【】

A、直角三角形 \(\hspace{2cm}\) B、等腰三角形 \(\hspace{2cm}\) C、等腰直角三角形 \(\hspace{2cm}\) D、等腰或直角三角形

分析：边化角得到\(sinAcosA=sinBcosB\)，即\(sin2A=sin2B\)，

故\(2A=2B\)或\(2A+2B=\pi\)，

故\(A=B\)或\(A+B=\cfrac{\pi}{2}\)，则为等腰或直角三角形。

\(\fbox{例4}\)

\(\fbox{例5}\)

在\(\Delta ABC\)中，若\(sin^2A+sin^2B < sin^2C\)，则\(\Delta ABC\)的形状为【】

A、锐角三角形 \(\hspace{2cm}\) B、直角三角形 \(\hspace{2cm}\) C、钝角三角形 \(\hspace{2cm}\) D、不确定

分析：角化边，得到\(a^2+b^2<c^2\)，故选C。

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