Hdu 5439 Aggregated Counting (2015长春网络赛 ACM/ICPC Asia Regional Changchun Online 找规律)

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　　Hdu 5439 Aggregated Counting

题目描述：

　　刚开始给一个1，序列a是由a[i]个i组成，最后1就变成了1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5.......，最后问a[i]==n(i最大)时候，i最后一次出现的下标是多少？

解题思路：

　　问题可以转化为求a[i] == n (i最大)，数列前i项的和为多少。

　　index：　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9　　10

　　a:      　　  1　　2　　2　　3　　3　　4　　4　　4　　5　　5

　　可以观察出：ans[1] = 1,　　ans[i] = ans[i-1] + a[i]*i;

　　但是n<=1e9,打不了这个庞大的表。进一步观察，可以发现a数组里面有很多的重复元素，辣么就可以对a数组里面的元素进行压缩存进b数组里面(出现次数为i的最后一个元素为b[i])：

　　index：　　1　　2　　3　　4　　5　　 6　　7　　8　　9　　10

　　a:      　　  1　　2　　2　　3　　3　　 4　　4　　4　　5　　5

　　b:      　　  1　　3　　5　　8　　11　 15　 19　 23　  28　 33

　　ans:　　     1　　11　 38    122  272  596  1086　　

　　1到出现次数为i的最后一个元素的区间和为ans[i]，由a[]可以看出ans[i] = ans[i-1] + (b[i] + b[i-1] + 1) * (b[i] - b[i-1]) / 2 * i;

　　每次查询的时候如果n不在b[i]里面，可以找到一个最接近n并且小于n的b[i]，然后再套用一次等差数列求和即可。

　　还有就是等差数列求和的时候，除以2要用到逆元处理一下。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <iostream>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6
 7 typedef __int64 LL;
 8 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 9 const int maxn = 450000;
10 const int mod = 1000000007;
11 LL a[maxn], b[maxn], ans[maxn], num;
12
13 LL quick_mod(LL x, LL n)
14 {
15     LL res = 1;
16
17     while (n)
18     {
19         if (n % 2)
20             res = (res * x) % mod;
21
22         x = (x * x) % mod;
23         n /= 2;
24     }
25     return res % mod;
26 }
27 void init ()
28 {
29     LL res = 1, j = 1, nu;
30
31     a[0] = b[0] = 0;
32     a[1] = b[1] = 1;
33     a[2] = num = 2;
34     b[2] = 3;
35
36     while (b[num] <= 1e9)
37     {
38         if (res <= num)
39         {
40             j ++;
41             res += a[j];
42         }
43
44         while (res > num)
45         {
46             num ++;
47             a[num] = j;
48             b[num] = b[num-1] + a[num];
49         }
50
51     }
52
53     //printf ("%I64d %I64d\n", num, b[num]);
54
55     ans[0] = 0;
56     ans[1] = 1;
57
58     for (int i=2; i<=num; i++)
59          ans [i] = (ans[i-1] + (b[i] + b[i-1] + 1) % mod * a[i] % mod * i % mod * quick_mod(2, mod-2) % mod) % mod;
60
61 }
62
63 int main ()
64 {
65     LL t, n;
66     init ();
67     scanf ("%I64d", &t);
68
69     while (t --)
70     {
71         scanf ("%I64d", &n);
72         LL pos = lower_bound (b, b+num, n) - b;
73
74         if (b[pos] == n)
75         {
76             printf ("%I64d\n", ans[pos]);
77             continue;
78         }
79
80         LL res = (ans[pos-1] + (b[pos-1] + n + 1) % mod * (n - b[pos-1]) % mod * pos % mod * quick_mod(2, mod-2) % mod) % mod;
81
82         printf ("%I64d\n", res);
83     }
84     return 0;
85 }