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上个月对Math.NET的基本使用进行了介绍，主要内容有矩阵，向量的相关操作，解析数据格式，数值积分，数据统计，相关函数，求解线性方程组以及随机数发生器的相关内容。这个月接着深入发掘Math.NET的各种功能，并对源代码进行分析，使得大家可以尽可能的使用Math.NET在.NET平台下轻易的开发数学计算相关的，或者可以将其中的源码快速移植到自己的系统中去(有时候并不需要所有的功能，只需要其中的部分功能代码)，今天要介绍的是Math.NET中利用C#计算矩阵行列式的功能。
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1.行列式概念与性质
行列式是关于方阵的元素所定义的一种运算，其运算的结果是一个数，称为方阵的行列式值，简称为方阵的行列式。
行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。
行列式是线性代数里面的一个基本概念，我们可以从其定义和性质中了解一下其作用：
1.行列式与它的转置行列式相等；
2.互换行列式的两行(列)，行列式变号；
3.行列式的某一行(列)的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；
4.行列式如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零；
5.若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和；
6.把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变
2.Math.NET计算行列式的实现
Math.NET在对行列式的计算过程中，只是把其作为矩阵计算的一个小部分功能，作为属性添加在各个矩阵分解算法的抽象和实现类中。因为Math.NET中矩阵的泛型类型的相关实现主要是支持Double和Float类型，所以基本上与泛型相关的类都实现了2个版本，在实际使用时再进行调用。而矩阵分解算法如：Cholesky，LU，QR，Svd等都有一个抽象泛型基类。在这些抽象类中都定义好了矩阵分解相关的计算，如行列式，方程求解等功能，然后对类进行继承，如Cholesky分解算法，的抽象 基类：
1 internal abstract class Cholesky : Cholesky<double>
2 {
3 protected Cholesky(Matrix<double> factor)
4 : base(factor)
5 {
6 }
7
8 /// <summary>
9 /// Gets the determinant of the matrix for which the Cholesky matrix was computed.
10 /// </summary>
11 public override double Determinant
12 {
13 get
14 {
15 var det = 1.0;
16 for (var j = 0; j < Factor.RowCount; j++)
17 {
18 var d = Factor.At(j, j);
19 det *= d*d;
20 }
21
22 return det;
23 }
24 }
25
26 /// <summary>
27 /// Gets the log determinant of the matrix for which the Cholesky matrix was computed.
28 /// </summary>
29 public override double DeterminantLn
30 {
31 get
32 {
33 var det = 0.0;
34 for (var j = 0; j < Factor.RowCount; j++)
35 {
36 det += 2*Math.Log(Factor.At(j, j));
37 }
38
39 return det;
40 }
41 }
42 }
这个基类就是继承实现的Doule类型的版本，然后DenseCholesky继承该类，实现更多的计算功能：
1 internal sealed class DenseCholesky : Cholesky
2 {
3 public static DenseCholesky Create(DenseMatrix matrix)
4 {
5 if (matrix.RowCount != matrix.ColumnCount)
6 {
7 throw new ArgumentException(Resources.ArgumentMatrixSquare);
8 }
9 var factor = (DenseMatrix) matrix.Clone();
10 Control.LinearAlgebraProvider.CholeskyFactor(factor.Values, factor.RowCount);
11 return new DenseCholesky(factor);
12 }
13
14 DenseCholesky(Matrix<double> factor): base(factor) { }
15
16 public override void Solve(Matrix<double> input, Matrix<double> result)
17 {
18 if (result.RowCount != input.RowCount)
19 {
20 throw new ArgumentException(Resources.ArgumentMatrixSameRowDimension);
21 }
22
23 if (result.ColumnCount != input.ColumnCount)
24 {
25 throw new ArgumentException(Resources.ArgumentMatrixSameColumnDimension);
26 }
27
28 if (input.RowCount != Factor.RowCount)
29 {
30 throw Matrix.DimensionsDontMatch<ArgumentException>(input, Factor);
31 }
32
33 var dinput = input as DenseMatrix;
34 if (dinput == null)
35 {
36 throw new NotSupportedException("Can only do Cholesky factorization for dense matrices at the moment.");
37 }
38
39 var dresult = result as DenseMatrix;
40 if (dresult == null)
41 {
42 throw new NotSupportedException("Can only do Cholesky factorization for dense matrices at the moment.");
43 }
44 Buffer.BlockCopy(dinput.Values, 0, dresult.Values, 0, dinput.Values.Length*Constants.SizeOfDouble);
45 var dfactor = (DenseMatrix) Factor;
46 Control.LinearAlgebraProvider.CholeskySolveFactored(dfactor.Values, dfactor.RowCount, dresult.Values, dresult.ColumnCount);
47 }
48
49 public override void Solve(Vector<double> input, Vector<double> result)
50 {
51 if (input.Count != result.Count)
52 {
53 throw new ArgumentException(Resources.ArgumentVectorsSameLength);
54 }
55
56 if (input.Count != Factor.RowCount)
57 {
58 throw Matrix.DimensionsDontMatch<ArgumentException>(input, Factor);
59 }
60
61 var dinput = input as DenseVector;
62 if (dinput == null)
63 {
64 throw new NotSupportedException("Can only do Cholesky factorization for dense vectors at the moment.");
65 }
66 var dresult = result as DenseVector;
67 if (dresult == null)
68 {
69 throw new NotSupportedException("Can only do Cholesky factorization for dense vectors at the moment.");
70 }
71
72 Buffer.BlockCopy(dinput.Values, 0, dresult.Values, 0, dinput.Values.Length*Constants.SizeOfDouble);
73
74 var dfactor = (DenseMatrix) Factor;
75 Control.LinearAlgebraProvider.CholeskySolveFactored(dfactor.Values, dfactor.RowCount, dresult.Values, 1);
76 }
77 }
这里只是介绍了具体行列式计算的实现，其实在Math.NET中这种实现只要在调试的时候搞懂了其中一个，其他相关的都好懂了。调用的时候，由于矩阵的类型里面都有相关的属性，可以直接继续计算，下面就演示一下如何调用计算行列式。
3.矩阵行列式计算的调用代码
在矩阵类Martix中，已经有一个属性Determinant可以直接获取矩阵的行列式，所以计算也非常简单：
1 // 格式设置
2 var formatProvider = (CultureInfo)CultureInfo.InvariantCulture.Clone();
3 formatProvider.TextInfo.ListSeparator = " ";
4
5 //创建一个随机的矩阵
6 var matrix = new DenseMatrix(5);
7 var rnd = new Random(1);
8 for (var i = 0; i < matrix.RowCount; i++)
9 {
10 for (var j = 0; j < matrix.ColumnCount; j++)
11 {
12 matrix[i, j] = rnd.NextDouble();
13 }
14 }
15 // 计算行列式
16 Console.WriteLine(@"1. 行列式 结果为");
17 Console.WriteLine(matrix.Determinant());
18 Console.WriteLine();
输出结果为：
1. 行列式 结果为 0.0349730711309253
如果要使用特殊的分解算法类计算行列式，也可以单独计算，例如下面的代码，先利用matrix对象生成一个Cholesky分解算法的对象，然后用它来计算行列式：
1 var formatProvider = (CultureInfo)CultureInfo.InvariantCulture.Clone();
2 formatProvider.TextInfo.ListSeparator = " ";
3
4 //创建矩阵
5 var matrix = DenseMatrix.OfArray(new[,] { { 2.0, 1.0 }, { 1.0, 2.0 } });
6 Console.WriteLine(@"原始矩阵");
7 Console.WriteLine(matrix.ToString("#0.00\t", formatProvider));
8 Console.WriteLine();
9
10 //cholesky分解对象
11 var cholesky = matrix.Cholesky();
12
13 //计算行列式
14 Console.WriteLine(@"矩阵行列式");
15 Console.WriteLine(cholesky.Determinant);
16 Console.WriteLine();
结果如下：
1 原始矩阵 2 DenseMatrix 2x2-Double 3 2.00 1.00 4 1.00 2.00 5 6 矩阵行列式 7 3
4.资源
资源包括源代码以及案例都可以去官网下载，下载地址本系列文章的目录中第一篇文章:http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html,有介绍。由于源码很大，如果找不到相应的案例，可以进行搜索，可以比较快的找到相应的代码。